M a s a r y k o v a u n i v e r z i t a
E k o n o m i c k o - s p r á v n í fakulta
Studijní obor: Matematické a statistické metody v ekonomii
^ — — \
PREDIKCE V EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH
ŘADÁCH
Prediction in the economic time series
D i p l o m o v á p r á c e
Vedoucí diplomové práce: Autor:
RNDr. Dalibor Moravanský, CSc. Bc. Ivana RŮŽIČKOVÁ
Brno, 2015
Jméno a příjmení autora: Ivana Růžičková
Název diplomové práce: Predikce v ekonomických časových řadách
Název práce v angličtině: Prediction in the economic time series
Katedra: ekonomie
Vedoucí diplomové práce: RNDr. Dalibor Moravanský, CSc. Slabozraký, Ph.D.
Rok obhajoby: 2015
Anotace
Diplomová práce „Predikce v ekonomických časových řadách" pojednává o přístupech k
vyhodnocování předpovědních chyb v ekonometrických modelech a zpracovává konkrétní
predikce ekonomických ukazatelů související s Českou Republikou. Do práce jsou zahrnuty
predikce v rámci tří různých typů modelů - individuální časové řady, regresní metody a V A R
modely. V poslední kapitole najdeme bližší kategorizaci metod, které způsobují predikční
selhání.
Annotation
Diploma thesis "Prediction in the economic time series" is devoted to approaches to evaluate
prediction errors in econometric models and elaborates on particular predictions of economic
indicators related to Czech Republic. This thesis includes predictions for three fundamental
types of econometric models - individual time series, regress methods and V A R models. The
last chapter deals with further categorization of methods causing prediction failures.
Klíčová slova
Časová řada, předpověď, export, import, nepredikovatelnost
Keywords
Time series, prediction, export, import, unpredictability
Prohlášení
Prohlašuji, že jsem diplomovou práci Predikce v ekonomických časových řadách vypracovala
samostatně pod vedením RNDr. Dalibora Moravanského, CSc. a uvedla v ní všechny použité
literární a jiné odborné zdroje v souladu s právními předpisy, vnitřními předpisy Masarykovy
univerzity a vnitřními akty řízení Masarykovy univerzity a Ekonomicko-správní fakulty MU.
V Brně dne 10. května 2015
v l a s t n o r u č n í podpis autora
Poděkování
Na tomto místě bych ráda poděkovala RNDr. Daliboru Moravanskému, CSc. za cenné
připomínky a odborné rady, kterými přispěl k vypracování této diplomové práce. Také děkuji
své rodině a přátelům, kteří mě po celou dobu studia podporovali.
OBSAH
Ú V O D 11
1 T R A D I Č N Í N Á S T R O J E V Y H O D N O C O V Á N Í P R E S N O S T I P R O G N O S T I C K Ý C H V Ý P O V Ě D Í „ 1 3
2 O B E C N Ý K O M P A R A T I V N Í P R Í S T U P R A Y E F A I R A 17
2.1 Ú V O D 17
2.2 N U M E R I C K Á ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH MODELŮ 19
2.3 HODNOCENÍ PROGNÓZY E X ANTE 24
2.4 HODNOCENÍ E X POST PŘEDPOVĚDÍ 27
2.5 ALTERNATIVNÍ METODA PRO HODNOCENÍ PŘESNOSTI PŘEDPOVĚDÍ 30
2.6 Z Á V Ě R 37
3 T A X O N O M I E Z Á K L A D N Í C H P Ř Í Č I N P R E D I K Č N Í C H S E L H Á N Í 39
3.1 EKONOMICKÉ PŘEDPOVÍDÁNÍ 41
3.2 ILUSTRATIVNÍ PŘÍKLAD : SKALÁRNÍ MODEL S AUTOREGRESNÍM ROZLOŽENÝM ZPOŽDĚNÍM 44
3.3 V Y S V Ě T L E N Í TĚCHTO PŘEDPOVĚDNÍCH CHYB 52
3.4 NÁSTROJE ROBUSTNÍHO PŘEDPOVÍDÁNÍ 59
3.5 Z Á V Ě R Y 63
4 P O R O V N Á N Í P R E D I K C Í P R O E X O G E N N Í P R O M Ě N N É 65
4.1 K O N S T R U K C E PREDIKČNÍCH T A B U L E K 65
4.2 INDIVIDUÁLNÍ PREDIKCE EXPORTU-IMPORTU 2009 68
4.2.1 J yrovnání apredikce na rok 2009 ukazatele Import z Německa 68
4.2.2 Vyrovnáni apredikce na rok 2009 ukazatele Export do Německa 75
5 R E G R E S N Í M O D E L Y E X P O R T U - I M P O R T U 81
5.1 V Y H O D N O C E N Í PREDIKCÍ REGRESNÍCH MODELŮ EXPORTU-IMPORTU DO B R D 2009 83
6 P R E D I K C E Z K O N S T R U O V A N É V E V A R - M O D E L U 93
6.1 V A R MODELY EXPORTU-IMPORTU 93
6.2 V Y H O D N O C E N Í PREDIKCÍ V A R MODELŮ EXPORTU-IMPORTU DO B R D 2015 94
6.3 V Y H O D N O C E N Í PREDIKCÍ V A R MODELŮ EXPORTU-IMPORTU DO B R D 2009 97
7 F O R M Y N E P R E D I K O V A T E L N O S T I 101
7.1 INTRINSICKÁ NEPRED1KOVATELNOST 102
7.2 BEZPROSTŘEDNÍ NEPREDIKOVATELNOST 104
7.3 EXTRINSICKÁ NEPREDIKOVATELNOST 105
7.4 BEZPROSTŘEDNÍ A EXTRINSICKÁ NEPREDIKOVATELNOST PŘI PŘEDPOVÍDÁNÍ 106
Z Á V Ě R 111
S E Z N A M P O U Ž I T Ý C H Z D R O J Ů 116
E L E K T R O N I C K É Z D R O J E : 117
S E Z N A M G R A F Ů 118
S E Z N A M T A B U L E K 119
S E Z N A M O B R Á Z K Ů 119
S E Z N A M P O U Ž I T Ý C H Z K R A T E K 120
S E Z N A M P Ř Í L O H 121
ÚVOD
V současnosti jsou predikce v časových řadách jednou z nej významnějších oblastí v rozvoji
statistiky. Majoritním důvodem rostoucího významu tohoto odvětví je fakt, že se úspěšně
vyrovnává s popisem dynamických systémů, s kterými se často setkáváme. Uplatnění analýzy
časových řad je možné nalézt ve všech oborech lidské činnosti (kupříkladu fyzice, medicíně,
technice, společenských vědách a v neposlední řadě ekonomii...). Právě v ekonomii pak patří
teorie časových řad při analýze dat k nej důležitějším kvantitativním metodám.
Ve své diplomové práci vycházím především z textů významných ekonometrů Ray Faira,
Davida F.Hendryho a Grayhama E.Mizona, z nichž dva posledně jmenovaní se v nedávné
době intenzívně zabývali příčinami předpovědních selhání ekonometrických modelů. Dále
jsem přistoupila ke zpracování konkrétních predikcí ekonomických ukazatelů, které souvisí
s Českou Republikou. Zaměřila jsem se na ukazatele, které nevykazují plynulý vývoj
v posledních letech - jsou to exporty a importy s Německem jako s nejsilnějším obchodním
partnerem České Republiky. Do práce jsem zahrnula predikci s třemi základními skupinami
hodnot - individuální časové řady, regresní metody a V A R modely. Po spočtení jsem
vyhodnotila závěry, do jaké míry je přesnost predikcí provedena a v kontextu moderní
literatury jsem se pokusila o bližší kategorizaci metod, které způsobují predikční selhání.
Cílem práce je sestavení přehledového pojednání o uplatňovaných přístupech k
vyhodnocování předpovědních chyb v ekonometrických modelech, resp. v modelech analýzy
časových řad. S tímto souvisí též posouzení výhod/nevýhod uplatňovaných přístupů včetně
zhodnocení kritérií, která jsou k tomuto účelu používána, s odlišením situací, kdy jde o
predikce založené na minulých hodnotách časové řady a kdy predikce endogenní proměnné
založené na znalosti chování jiných souvisejících (exogenních proměnných) v regresní
rovnici. Předmětem bylo v této souvislosti především empirické ověření úspěšnosti/selhání
předpovědí na několika jednoduchých regresních modelech české ekonomiky (např.
rekursívním vyhodnocením ex post). V závěrečných dvou oddílech se zabývám porovnáním
modelových predikcí s predikcemi založenými na individuálním chování ukazatele.
11
12
1 TRADIČNÍ NÁSTROJE VYHODNOCOVÁNÍ PŘESNOSTI
PROGNOSTICKÝCH VÝPOVĚDÍ
K vyhodnocování přesnosti prognostických výpovědí bylo v minulosti užito několik
rozdílných kritérií. Jejich smyslem je (v absolutním nebo relativním, zpravidla procentuálním)
vyjádření co nejlépe vystihnout „celkové" odchýlení předpovídaných hodnot v intervalu, ve
kterém provádíme předpovědi, od skutečných hodnot daného ekonomického ukazatele. V této
kapitole uvádím hlavní z nich, jmenovitě ta, která jsou většinou autorů považována za
nej významnější a jsou používána i v aktuálních výzkumných studiích. Lze to dokumentovat i
uplatněním těchto kritérií v podkladových textech, která jsem použila ke zpracování druhé a
třetí kapitoly mé diplomové práce. Na základě stejných kritérií jsem pak v kapitolách 4, 5 a 6
přistoupila k vlastním výpočtům a zhodnocení přesnosti prognostických výpovědí u ukazatelů
zahraničního obchodu České republiky.
Odmocninová střední čtvercová chyba (RMSE - root mean squared error)
Výpočet pro pozorované hodnoty:
kde yt jsou pozorovaná data, ýjsou předpovědi a Tje rozsah předpovědního vzorku. Hodnota
je vyjádřená ve stejných jednotkách jako původní data.
Výpočet pro predikci na h období dopředu:
Střední absolutní chyba (MAE - mean absolute error)
Výpočet pro pozorované hodnoty:
T
MAE =
T
13
Výpočet pro predikci na h období dopředu:
T+,T+h T+h
MAE-- t=T+l _ t=T+l
h h
V datových souborech s výraznými odchylkami některých pozorování od „standardních"
nepenalizuje tyto „extrémní" odchylky tak silně jako RMSE.
Střední absolutní procentuální chyba odhadu (mean absolute percentage error) MAPE
vypočítáme jako
100 n + h
Iv/ — v/l 100 n
yt~T
t
MAPE = — . £ 1 1
MAPE = —.Z
h
t=n+l yt n t = 1 yt
MAPE nabývá hodnot 0-100%, kde menší výsledek než 100% říká, že daný predpovední
model je lepší než model náhodné procházky s předpověďmi trvale na nulové úrovni. Pokud
hodnoty časové řady oscilují kolem 0, pak je toto kritérium špatně použitelné.
Korigovaná střední absolutní procentuální chyba odhadu [adjusted mean absolute percentage
error] AMAPE je vypočítána jako
100 n + h
AMAPE = . Z
h
t=n+l
yt -yt
(yt+ýt)/2
Toto kritérium i při prohozených skutečných a předpovídaných hodnot dává stejný výsledek. Koriguje
tedy asymetrii předchozího kritéria MAPE.
Theilův koeficient nesouladu[TheiV s U-coefficient] ThU
ThU
n + h
í - \2
t=n+l
n+h 7 I n+h 7
E yt +J E h
\t=n+l \t=n+l
Kde n je délka původní časové řady (užité pro odhad modelu), h je délka předpovídaného
období [ h>0 ] a n +h je délka původní časové řady prodloužená o předpovídané období.
14
Hodnota ThU leží vždy mezi 0 a 1, kdy hodnota 0 znamená úplnou shodu předpovědí se
skutečností.
15
16
2 OBECNÝ KOMPARATIVNÍ PŘÍSTUP RAYE FAIRA
V této části diplomové práce uvádím rozšířenou a místy komentovanou verzi textu Ray
Faira[9], který byl jako poměrně stručná přehledová studie zařazen do 3. svazku Handbooku
of Econometrics[9] jako jeho 33. kapitola (Evaluating the Predictive Accuracy of Models).
Přestože od jeho prvního publikování uplynulo již bezmála 30 let, během kterých doznaly
metody racionálního předpovídání pomocí ekonometrických modelů zřetelný, místy až
bouřlivý rozvoj (modely VAR, ECM, různé třídy GARCH modelů apod.), lze ho pokládat za
dosud univerzálně platný, pokud jde o metodologii hodnocení, tj. zejména vzájemné
srovnávání výsledků predikcí získaných různými, ať už třeba jednoduchými ad hoc nebo silně
sofistikovanými ekonometrickými postupy. To je jedním z důvodů, proč má tento text
nezmenšený význam i v dnešní době. Druhým je jeho rešeršní povaha ve vztahu ke stavu up
to date, tedy doby, kdy byl zpracováván, neboť původní prameny by (nejen český) čtenář
jinak hledal velmi obtížně.
Na některých místech mnou komentovaného Fairova textu přitom odkazuji též na mé
zkušenosti s porovnáváním předpovídaných hodnot získané na mnou zvolených
ekonomických ukazatelích, pokud mají přímý vztah k tématice.
Článek je užitečný též proto, že představuje základní, víceméně dosud užívanou terminologii
a stanoví základní klasifikaci predikcí (ex ante vs, ex-post, statická vs. Dynamická a
stochastická).
2.1 Úvod
V této kapitole jsou popsány metody stanovení přesnosti předpovědi v ekonometrických
modelech. Jelikož většina modelů používaných v praxi je nelineární, uvažujme od začátku
nelineární případy. Model může být v maximální obecnosti zapsán jako
f,(yt,xt,al) = uit, (i = i,...,«), (/ = l,...,n (1)
Kde yt]e n-rozměrný vektor endogenních proměnných, xt je vektor predeterminovaných
proměnných (zahrnující případně i zpožděné endogenní proměnné), a, je vektor neznámých
parametrů a uit je chybový člen v /'-té rovnici a v čase /. Předpokládáme, že modelové rovnice
jsou seřazeny tak, že prvních m rovnic je považováno za stochastické a ve zbývajících jsou
17
náhodné složky uu=(i = m + \,...,n) identicky rovné 0 pro všechna /. Nejčastěji půjde o
identity propojující (bez neznámých parametrů) pozorovatelné proměnné modelu.
Specifikace «-rovnicového modelu simultánních rovnic zápisem (1) je nejobecnějším
vyjádřením nelineárního ekonometrického modelu, pokud jsou zněj substitucemi vyloučeny
(nadbytečné) proměnné obsažené v identitách; ty v sobě neobsahují stochastický chybový
člen (tj.náhodnou složku regresní rovnice). Zahrnuje v obecnosti běžné i případně zpožděné
exogénni proměnné spolu s parametry, které se mohou vyskytovat bez omezení jejich počtu
v kterékoliv rovnici. Jedinými omezeními vztaženými k této specifikaci j sou zde:
a) parametry modelu j sou v čase neměnné a
b) model musí být identifikován.
Tuto druhou podmínku by bylo nutno vyjádřit doplňujícím zápisem pro redukovanou formu
modelu, pokud lze tuto redukovanou formu (algebraicky) vyvodit.
V mém výkladu položím důraz spíše na metody než na výsledky. Nepokouším se o
systematický souhrn výsledků v alternativně formulovaných modelech. (Takovýto souhrn by
byl nad rámec tohoto pojednání.) Také, jak ukážu, většina z metod, které byly v minulosti
použity k porovnání modelů, jsou z rigorózního pohledu chybné, a není proto jasné, zda stojí
vůbec zato dělat takto rozsáhlý souhrn výsledů.
V sekci 2 je pojednáno o numerickém řešení nelineárních modelů, které zahrnuje postup
stochastické simulace. Tvoří to podkladový materiál pro zbytek kapitoly. Standardní metody,
které byly použity k vypočítání přesnosti ex ante a ex post jsou popsány v sekci 3 a 4. Hlavní
problémy těchto metod jsou:
1) metody nepočítají s nejistotou ve stanovení chování exogenních proměnných
2) neberou v úvahu, že chyby v předpovědi se zpravidla mění v čase
3) nevyrovnávají se systematickým způsobem s možnou přítomností chybné specifikace
modelu
18
V sekci 5 se Fair zabývá metodami, které sám nedávno vyvinul a které se snaží řešit tyto
problémy: jde o metody založené na postupném opakovaném odhadu a stochastické simulaci
modelu. V sekci 6 je stručný závěr.
Je důležité poznamenat, že tato kapitola nepoj ednává o predpovední ch technikách, kterými
jsou konstruovány předpovědi. Zabývá se pouze způsoby/metodami, kterými se hodnotí a
srovnávají ekonometrické modely s ohledem na přesnost předpovědí. Tyto metody by měly
vybrat právě jeden model, který (v dlouhém období) nejlépe aproximuje skutečnou strukturu a
chování ekonomiky a určí spolehlivost předpovědi v takto vybraném (optimálním) modelu.
2.2 Numerická řešení nelineárních modelů
Gauss-Seidelova iterační technika je jedna z těch, které se obvykle používají k řešení (tj.
především k výpočtu modelových parametrů) nelineárních modelů. Tato technika může být
použita rovněž ke stanovení hodnot endogenních proměnných za předpokladu, že máme
k dispozici množinu odhadů koeficientů, množinu hodnot predeterminovaných proměnných a
hodnoty chybových členů. I když všeobecně není zaručeno, že technika pracuje správně,
v praxi to funguje docela dobře.
Je poněkud překvapující, že R.Fair klade do popředí právě Gauss-Seidelovu metodu, která
rozhodně není nejčastěji používanou iterační technikou pro výpočty parametrů (zejména
složitých) nelineárních modelů. Daleko častěji se lze jak v teoretické literatuře, tak v
komentářích k realizovaným předpovědním modelovým aplikacím setkat s metodami jinými,
spadajícími zejména do Gauss-Newtonovy třídy (tzn. s metodami využívajícími viteračních
výpočtech 1. parciální derivace), Newton-Raphsonovy třídy (tzn. navíc využívajícími výpočty
1. i 2. parciálních derivací), případně dalšími postupy. Ostatně, v kapitole 6
původníhoHandbook of Econometrics [10] zmiňuje a komentuje její autor R. Quandt
numerické metody především tohoto charakteru: Marquardtovu a Greenstadtovu metodu,
metodu „quadratic hill climbing,, autorů Goldfeld, Quandt a Trotter, DPF (Davidon-FletcherPowelův)
algoritmus, Fletcher-Reevesovu metodu, Parkův A-algoritmus apod. V mých
výpočtech uskutečněných v gretlu se jako jedna z metod nelineární optimalizace poměrně
hojně vyskytovala BJTHH-metoda (autoři Berndt,Hill,Hill,Hausman). Kromě toho, volba
vhodné metody nelineární optimalizace závisí též na přijaté metodě odhadu parametrů. Blíže
viz kapitola 6 {Nelineární regresní modely autora Takeshi Amemiye) téhož Handbooku.
19
V dalším úseku textu se Fair dotýká klasifikace predikčních (simulačních) technik:
„Statická" simulace je jednou z technik, ve které jsou použity skutečné hodnoty
predeterminovaných proměnných, přičemž tato metoda vždy vede k řešení (tj. určení
předpovědí) v libovolném čase.
„Dynamická" simulace je jednou z technik, v níž jsou predikované hodnoty endogenních
proměnných získané jako řešení modelu spočteného přes minulá období,a jsou užity k
dosazení hodnot zpožděných endogenních proměnných, vystupujících jako veličiny nezbytné
pro řešení modelu přes běžné období.
ex - post simulace (nebo předpověď) používá skutečné hodnoty exogenních proměnných.
Naproti tomu
ex-ante simulace používá odhady exogenních proměnných. Simulaci nazveme „outsidersample"
(vnější vzorek), pokud odhadované období není obsaženo v modelu, kterým ho
odhadujeme.
Při předpovídání situací, kdy stav budoucnosti je v okamžiku hodnocení-předpoví dání
neznámý, musí být simulace charakteru ex-ante. Předpověď zasahující období mimo vzorek
(a v případě, že simulace je prováděna pro více než jedno období) je dynamická.
Jestliže je použita jen jedna množina hodnot chybových členů, řekneme, že jde o
deterministickou simulaci. Očekávané hodnoty většiny chybových členů jsou rovny nule a tak
u většiny řešení (tj. při určení předpovědních hodnot) se dosazují nulové hodnoty chybových
členů. Přestože je dobře známo, že pro nelineární modely se určení predikovaných hodnot
endogenních proměnných z deterministických simulací nerovná očekávaným hodnotám
těchto proměnných, používají se v praxi povětšině simulace deterministické. Je nicméně
možné stanovit očekávané hodnoty endogenních proměnných pomocí stochastické simulace a
tento proces si teď popíšeme. Jak uvidíme později v této kapitole, stochastická simulace je
užitečná, neboť ji lze užít i pro jiné účely, než pro stanovení očekávaných hodnot
(endogenních proměnných).
Stochastické simulace vyžadují předpoklad o tvaru rozdělení chybových členů a o rozdělení
odhadů koeficientů modelu. V praxi téměř vždy předpokládáme normální rozdělení, i když
v principu můžeme zavést i jiné distribuční předpoklady. Jak zřejmo nejen z aktuálních
20
zjištění Hendryho a Mizona [13], pro zdárné stanovení „dobré předpovědi" nepředstavují
problém ani tak rozdělení blízká normálnímu, třeba Studentovo rozdělení o větším počtu
stupňů volnosti (25 a více), jako zejména okolnost, že skutečné rozdělení může mít příliš
tlusté konce („heavy tails") a že jeho parametry (třeba i normálního rozdělení) se v čase
změní, zejména pokud změna proběhne na přelomu pozorovaného a predikovaného období.
Pro účely následného výkladu budeme uvažovat jen předpoklad normality. Především
předpokládáme, že vektor ut = (u]t, ...,umt)' má vícerozměrné normální rozdělení s identicky a
nezávisle rozdělenými složkami N (0,X), tj. jde o (náhodný sloupcový) vektor s nulovými
středními hodnotami a s pozitivně definitní kovarianční maticí X- Potom, pomocí vhodné
odhadové metody (obvykle např. LS-nebo M L - přístupu), získaným odhadům koeficientů a
disponibilním datům získáme kovarianční matici chybových členů a též kovarianční matici
odhadnutých koeficientů. Označíme si tyto dvě matice jako E a V. Rozměr matice E je
m x m a rozměr matice V je K x K, kde K je celkový počet parametrů v modelu.Odhad £
můžeme vypočítat např. (u ML-pří stupu) jako- 00' kde Uje mxT matice hodnot odhadnutých
chybových členů. Výpočet kovarianční matice V závisí na použité odhadovací technice. Při
adekvátně určené matici V a za daného předpokladu normality dospějeme k rozdělení
odhadnutých parametrů ve tvaru N( á, V), kde á j e K x 1 vektor odhadnutých parametrů.
Označme si j ako u* konkrétně zvolený výběrový vzorek m chybových členů vzatých v čase /
ziV(0,L) rozdělení. Dále si jako a označíme partikulární výběrový vzorek K-úce
koeficientů majících sdružené N(ä, V) rozdělení. Máme-li dánu posloupnost vzorků u* pro
každé z období / a máme-li dán vektor a , pak můžeme přistoupit k řešení modelu, tzn. ke
stanovení optimálních (alespoň nestranných s nízkou variabilitou) predikcí hodnot endogenní
proměnné. Toto představuje pouze deterministickou simulaci pro dané hodnoty chybových
členů a pro dané hodnoty koeficientů. Označíme si tuto simulaci jako zkušební/pokusnou.
Další pokusnou simulací může být vzetí nové množiny hodnot chybových členů u* a nové
množiny hodnot vektoru (odhadnutých) koeficientů ď. Tuto proceduru můžeme opakovat
tolikrát, kolikrát potřebujeme. V každé pokusné simulaci se získá předpověď pro každou
endogenní proměnnou v libovolném čase.
21
Označíme si jako y(tk hodnotu z'-té proměnné získanou v j-té pokusné simulaci pro predikci o
^-období dopředu ze simulace začínající v čase /. (/ značí první období simulace, takže yJ
ltk]t
predikce v čase t+k-1) Pro J takových pokusů, bude mít odhad očekávané hodnoty proměnné
značený j ako yítk tvar
~ 1 J
yitk=-1
Zy»k (2
)
J j=i
V řadě dřívej ších studií byly stochastické simulace prováděné pouze z chybových členů
(nikoliv tedy s uvažováním případných změn v odhadovaných koeficientech), to znamená, že
se uplatňovalo pouze rozdělení chybových členů pro daný iterační procesu např. Garbade
[7].A Studie kde stochastické simulace zohledňovali obojí - chybové členy i odhady
koeficientůn např. Fair [9],
Jedním z důležitých empirických závěrů vyvoditelných z dosavadních stochastických
simulačních studií je ten, že hodnoty vypočtené z deterministické simulace jsou docela blízko
průměrům predikovaných hodnot, které byly vypočteny ze stochastických simulací. Jinými
slovy, vychýlení, které vyplývá z použití deterministické simulace pro řešení nelineárních
modelů, se jeví být malé. Odlišně realizovanou studii, která se zabývá stochastickou simulací
zohledňující v sobě současně jak měnící se chybové členy, tak i koeficienty, zpracoval Fair
[9].
Standardní cesta k získání vzorku hodnot a z rozdělení N(á,V) spočívá v tomto postupu:
(1) provedení numerického (za použití vhodného programového software)
rozkladu/faktorizace (symetrické kovarianční) matice V do součinu dvou vzájemně
transponovaných matic PP'.
(2) vzetí výběrového vzorku (opět za použití software) K hodnot standardizované normální
náhodné proměnné se střední hodnotou 0 a rozptylem 1. A konečně
(3) spočtení Oř*j ako ä plus Pe, kde e je K x 1 vektor standardně normálně rozdělených
náhodných veličin. Protože Eee =1 pak E(a - á) • {a - a)' = EPeeP' = V což j e
22
požadováno pro rozdělení parametrů v a . Podobná procedura může být užita k získání
vzorku hodnot u* z rozdělení JV(0, E)
V tomto případě je matice £ faktorizována do součinu dvou vzájemně transponovaných matic
PP', a vektor w*je určen jako Pe, kde e je m x 1 vektor standardně normálně rozdělených
náhodných veličin.
V praxi se také užívá (díky McCarthymu) alternativní postup pro pořízení vzorku hodnot
chybových členů. V této proceduře se začíná s maticí U odhadů chybových členů (ta má
rozměry m x T). Pak je proveden náhodný výběr T proměnných s normovaným normálním
_i
rozdělením a sestrojí se vektor u* definovaný jako T 2
Ue kde e je ľ x 1 vektor normovaného
normálního rozdělení. Je snadné ukázat, že kovarianční matice náhodného vektoru u* má tvar
E kde odhad E získáme jednoduše jako (1/T)ŮŮ'.
Existuje ale též alternativní postup pro získání vzorku hodnot koeficientů. Jestliže máme ve
stanoveném období (řekněme od 1 do T) dánu matici E , můžeme provést výběr T hodnot
z ut(t = \,...,T). Pak můžeme tyto chyby přidat do modelu a řešit predpovední model přes
odhad období (jde o statickou simulaci, používající původní hodnoty odhadovaných
koeficientů). Předpovídané hodnoty endogenních proměnných z tohoto řešení můžou být
pokládány za nové základní údaje, z kterých můžeme odhadnout novou množinu koeficientů.
Tato množina může být považována zajeden konkrétní vzorek koeficientů. Tento postup je
náročnější než určení z N (ô, V) rozdělení, protože je potřeba pro každý konkrétní vzorek
provést nový odhad, ale má tu výhodu, že tento odhad není založený na fixní hodnotě
odhadnuté E a na fixní množině původních odhadovaných koeficientů.
Ve vztahu k řešení predikčních modelů je vhodné na závěr poznamenat, že v aktuálních
predpovední ch situacích je ještě před počítáním předpovědi většina modelů vhodným
způsobem subjektivně upravená. Úpravy mají buď podobu stanovení jiných než nulových
hodnot pro budoucí chybové členy nebo uplatnění jiných než odhadnutých hodnot regresních
koeficientů. Někdy jsou pro různá období použity tytéž hodnoty stejných koeficientů. Úprava
hodnot konstantních členů (regresních rovnic) je ekvivalentní úpravě hodnot chybových členů
23
(stejných rovnic) za předpokladu, že rozdílné hodnoty konstantních členů můžou být použity
v každém období. Úpravy tohoto typu se někdy nazývají „přidání faktorů". Pokud přidáme
dostatečný počet faktorů, je přirozeně možné, že dostaneme předpověď z modelu, libovolně
podle požadavků uživatele (modelu), pouze s respektováním toho, že jsou splněny vztahy
vyplývající z modelových identit (pro rovnice zařazené do modelu v počtu i = m + \,...,n).
Většina přidávaných faktorů je subjektivních vtom smyslu, že postup, kterými byly vybrány,
nemůže být zastoupen ostatními faktory. Objektivních přidávaných faktorů je spíše menšina.
Příkladem objektivního postupuje takové nastavení budoucích hodnot chybových členů, kdy
se rovnají průměru posledních dvou odhadovaných hodnot. Tento postup lze řadit k dalším
mechanismům úpravy predikčního procesu použitým v pracích autorů Green, Liebenberg, a
Hirsch [8],
2.3 Hodnocení prognózy ex ante
Tři nejznámější charakteristiky měření přesnosti předpovědi jsou: Odmocninová střední
čtvercová chyba (RMSE - RootMean Squared Error, Střední absolutní chyba {MAE - Mean
absolute error) a Theilův koeficient nesouladu (U -Theiľs inequality coefficient). Nechť ýit
značí předpověď proměnné /' v čase / a nechť yit je aktuální hodnota této proměnné v tomtéž
čase. Předpokládáme, že pozorování všechna ýit a yit j sou dostupná v čase t = \,...,T . Pak
vyjádření těchto charakteristik je následující:
RM
SE = ^fí(yit-ýitf (3)
MAE = ±-Y\ylt-ýlt\ (4)
1 ř=l
J^Ž(4v«-Aj>„)
Í7 = v
p — (6)
kde A v (6) označuje buď absolutní nebo procentní změnu. Pro všechny tři charakteristiky
platí, že pokud je předpověď dokonalá, jsou jejich hodnoty rovny 0. Jak je obecně známo,
24
charakteristika M A E znevýhodňuje velké chyby méně než RMSE charakteristika [vyplývá to
ze Schlômilchovy nerovnosti, dle níž dává aritmetický průměr ze stejných ale ne všech
shodných hodnot (jako střední hodnota l.řádu) menší výsledek než kvadratický průměr (jako
střední hodnota 2.řádu)].
Charakteristika U nabývá hodnotu rovnou 1 u „pasivní" předpovědi, kdy se neočekává žádná
změna (to je případ Ayjt=0). Hodnota charakteristiky U větší než jedna znamená, že
prognóza je dokonce méně přesná než při použití pasivní prognózy neindikující žádnou
budoucí změnu.
Důležitý praktický problém se objevuje u prognózy ex ante při (pozdější) revizi
shromážděných dat. Vzhledem k tomu, že pro mnoho proměnných jsou údaje zpětně
revidovány často i několikrát, než se stanou definitivními, není jasné, zda prognózované
hodnoty, jež jsou konformní s prvními zveřejněnými empirickými hodnotami, budou
konformní též s finálními hodnotami, případně s nějakým souborem hodnot mezi nimi
(tj.mezi počátečními a konečnými revidovanými).
Odpověď na tento problém není jednoznačná. V případě, že úprava proměnné je provedena
alespoň několik období před zahájením předpovědi, pak obvyklým postupem je upravit
hodnoty předpovědí, která je založena na starých datech přidáním předpokládané změny
(Aj>Y). Získáme tím nové zpožděné hodnoty {yit_v), a poté porovnáme upravené hodnoty
s novými daty. Někdy je úprava velmi jednoduchá: Řekněme, že revize má podobu přidání
konstantního množství yi ke každé původní hodnotě yit. Pak tento postup pouze přidá
stejnou korekciyi ke každé předpovídané hodnotěyi t . Tento postup je často uplatňován
dokonce i v případě, že korekce nespočívají ve všeobecném přeměřítkování hodnot a je
založen na implicitním předpokladu, že korekce mají převážně povahu přeměřítkování, než že
jde o úpravy jiného druhu. Uplatnění tohoto postupu také znamená, že pokud jsou změny
předpovědí vyhodnocovány tak, jako je tomu v případě Theilovy charakteristiky U, pak žádné
jejich dodatečné úpravy nejsou potřebné.
Existuje celá řada studií, které v minulosti zkoumaly přesnost předpovědí ex ante pomocí
jedné nebo více z výše uvedených charakteristik, např. [22]. Obvyklým případem je, že
předpovědi jsou vyšetřovány a vzájemně porovnávány jak modelovými, tak nemodelovými
25
výzkumníky/ prognostiky. Společný "základ" množiny prognóz pro účely srovnání
představuje ASA / NBER Business Outlook Survey. Obecným závěrem z těchto studií je, že
nelze nalézt žádného zřejmého „vítěze" v okruhu různých předpovídatelů. Výsledky činnosti
těchto prognostiků se poměrně výrazně liší, pokud jde o vybírané proměnné a o délku
předstihu (predikčního horizontu), ale současně lze zaznamenat, že rozdíly mezi prognózami
pro shodně vybírané proměnné a pro stejné délky předstihu (období předpovědi) j sou obecně
malé. To znamená, že ještě nemáme dostatek důkazů, že by prognózy z modelů byly přesnější
než například prognózy publikované v ASA / NBER Survey.
O srovnání předpovědí ex ante je bohužel malý zájem z hlediska testování přesnosti
předpovědi modelu. Vedou k tomu dva důvody: Prvním důvodem je, že předpovědi ex ante
jsou založeny spíše na odhadech než na skutečných hodnotách exogénnich proměnných. Jsou
dány pouze skutečné a předpovězené hodnoty endogenních proměnných a neexistuje tu
možnost odlišení chyb způsobených špatným odhadem modelu od chyb způsobených jinými
faktory. Přitom model nemusí být nutně penalizován (a znehodnocen) špatnými odhady
exogenních veličin jeho uživateli. (Víc o tom bude řečeno v sekci 5). Druhý, důležitější důvod
spočívá v tom, že většina testovaných předpovědí v těchto studiích byla prováděna všeobecně
na základě modelů subjektivně přizpůsobených jejich autory. (To znamená, že byly použity
subjektivně přidané faktory). Důležitější byla tedy přesnost provádění odhadů předpovědi, než
samotné testování validity modelů.
Před uzavřením této sekce bude zajímavé zvážit další dvě hlediska týkající se subjektivních
úprav modelů. Za prvé, existují nepřímé důkazy o tom, že použití přidaných faktorů je v praxi
docela důležité. Studie [5] zjistily, že namodelované ex ante předpovědi byly přesnější než
předpovědi ex post dokonce i tehdy, byly-li v předpovědi ex ante použity stejné přidané
faktory, které se pak použily v předpovědi ex post. Jinými slovy, užití skutečných hodnot
exogenních proměnných (překvapivě) snížilo přesnost předpovědi (oproti tomu, kdy byly pro
předpověď použity jejich odhadnuté hodnoty). Tento závěr je též v souladu s názorem, že
přidané faktory jsou (ve volném smyslu) důležitější než modely stanovení prognózy ex ante.
to, co by se dalo jinak považovat za nástroj zlepšení predikční schopnosti modelu - totiž
použití přesnějších hodnot exogenních proměnných - ve skutečnosti zhoršuje přesnost
prognóz.
26
Za druhé, je zde zjištění, že přesnost nesubjektivně upravené předpovědi ex ante je zlepšena
použitím skutečných, nikoli domnělých hodnot exogenních proměnných. Během období
III/1970 - 11/1973, Fair provedl ex ante předpovědi za použití krátkodobého předpovědního
modelu [6]. Pro účely těchto prognóz v nich nebyly uplatněny žádné přidané faktory. Přesnost
těchto předpovědí je zkoumána ve Fairově textu [6], přičemž výsledky naznačují, že přesnost
předpovědi je obecně lepší, když jsou použity skutečné, nikoliv domnělé hodnoty exogenních
proměnných.
Na závěr je zajímavé poznamenat, ačkoliv z toho nic reálně nevyplývá, že (nesubjektivně
upravené) ex ante předpovědi z Fairova předpovědního modelu byly v průměru méně přesné
než subjektivně upravené prognózy, zatímco předpovědiex post, (tj. předpovědi založené na
skutečných hodnotách exogenních proměnných) měly v průměru přibližně stejný stupeň
přesnosti jako subjektivně upravené prognózy.
2.4 Hodnocení ex post předpovědí
Míry přesnosti (3) - (5) byly také široce používány pro vyhodnocení přesnosti předpovědí ex
post. Standardním postupem pro srovnání ex post je výpočet ex post předpovědí na společné
simulační období, tj. vyčíslení chybových měr pro každý model a pro každou proměnnou a
následné porovnání hodnot těchto chybových měr napříč analyzovanými modely. Pokud jde o
předpovědi „mimo-vzorek", zpravidla se pak snažíme zajistit, aby konce estimačních období
byly přibližně stejné. Obecně totiž platí, že čím víc je předpověď vzdálenější, tím se přesnost
předpovědi zhorší; to je důvodem, proč chceme, aby si délky predikčních horizontů byly pro
různé modely co možná nej podobnější.
Použití RMSE míry nebo nějaké další míry k vyhodnocení předpovědi ex postje přímočaré a
dá se k tomu sotva co více říct. Někdy je přesnost daného modelu srovnávána s přesností
„naivního" modelu, kde tento naivní model můžeme chápat v širším rozmezí: od
jednoduchého předpokladu, že u žádné proměnné nedojde k žádné její změně, až po
kombinované ARĽVIA procesy (integrované autoregresní schéma s procesem klouzavých
průměrů) pro každou proměnnou. (Srovnání s modelem neuvažujícím změnu vůbec je
implicitně obsaženo již v míře U). Někdy jsou body zlomu zkoumány odděleně, přičemž
bodem zlomuje chápán bod, ve kterém diference proměnné změní znaménko. Ve statistické
27
specifikaci modelů není neodmyslitelné vyšetřovat body zlomu odděleně, ale existuje úsek v
literatuře, v němž je na body zlomu kladen (až příliš) velký důraz.
Pokud jde o mnou zkoumané ukazatele zahraničního obchodu v období let 1999-2014, pak
bychom za body zlomu měli považovat - oproti předchozímu vymezení - až ta časová
období, kdy se změnila znaménka diferencí u sezónně očištěné časové řady. Většina čtvrtletně
sledovaných ekonomických ukazatelů totiž v sobě sezónnost implicitně obsahuje. Možná ještě
specifičtěji: nevelký pokles (a s tím spojená jednorázová záporná diference) může být jen
indikací výraznějšího projevu náhodné složky časové řady, takže o bodech zlomu bychom
nejspíše měli mluvit až tehdy, pokud jsou následovány viditelnou (třeba i krátkodobou)
změnu trendu řady. Je přitom zřejmé, že v kontextu dopadu krizových období ekonomiky
půjde daleko častěji o zlomy-posuny směrem dolů než směrem nahoru.
I když použití RMSE nebo podobné míry je rozšířené, existují dva vážné problémy spojené
s uvedeným obecným postupem. První se týká exogénnich proměnných. Modely se liší jak
v počtu, tak v typu proměnných, které jsou pojaty jako exogénni a také v citlivosti
předpovídaných hodnot endogenních proměnných na zadané hodnoty exogenních
proměnných. Můj postup tyto rozdíly (bohužel) nebere v úvahu. Je-li jeden model méně
"endogenní" než jiný (řekněme, že ceny jsou brány jako exogénni v jednom modelu, ale ne v
jiném), pak to má nespravedlivou výhodu při výpočtu chyb měření. Druhý problém se týká
skutečnosti, že rozptyly předpovědních chyb se liší v čase. Rozptyly chyb předpovědí se mění
v čase, a to jak z důvodu, že může jít o nelineární model, tak kvůli kolísání exogenních
proměnných. Ačkoli RMSE - míry jsou ve volném smyslu odhady průměrných rozptylů
(přesněji směrodatných odchylek) napříč časem, není na nich postavená žádná důkladná
statistická interpretace: nejde v jejich případě o odhady žádného z parametrů modelu.
Další problém, který je spojený s výpočty chyb měření „uvnitř vzorku", je možná existence
data mining (volně: dolování informace z dat). Pokud se v průběhu výstavby modelu
spuštěním mnoha regresí pečlivě hledá pro každou (endogenní) proměnnou nejlépe ji
vystihující rovnice, existuje nebezpečí, že vybraná rovnice, ač dobře popisující chování této
závisle proměnné v období, za které je prováděn odhad, bude přesto špatně vystihovat reálnou
modelovou strukturu. Výpočty chyb „uvnitř vzorku" to pravděpodobně neobjeví, a to pak
může poskytnout velmi zavádějící dojem, že přesnost modelu je správná. Výpočty chyb
28
„mimo-vzorek" by to měly samozřejmě zachytit, což je důvodem, proč je větší váha kladena
na výsledky z toho postupu (rozuměno vyhodnocením predikcí provedených „mimo-vzorek").
Nelson [23], používá alternativní postup k RMSE-postupu ve svém ex post zhodnocení FRBMIT-PENN
(FMP) modelu. Pro každou z řady endogenních proměnných získal řadu
statických predikcí pomocí jak modelu FMP tak ARIMA modelu. Nelson pak provedl regresi
skutečné hodnoty každé proměnné na dvě predikované hodnoty přes období, za které byly
předpovědi provedeny. Nehledě k faktu, že model FMP je nelineární, předpovědi z modelu
jsou podmíněná očekávání založená na dané informační množině. Pokud model FMP
umožňuje efektivní využívání těchto informací, pak žádné další informace by neměly být
obsaženy v předpovědích pomocí ARIMA-schématu. ARIMA model pro každou proměnnou
používá pouze část informací, a sice ty, které jsou obsaženy v minulém chování proměnné.
Proto, pokud model FMP zajistil efektivní využívání informací, koeficient pro ARIMA
predikované hodnoty by měly být nula. Nelson zjistil, že obecně odhady tohoto koeficientu
byly významně různé od nuly. Tento test, ač nesporně zajímavý, nemůže být použit pro
porovnání modelů, které se liší v počtu a typech proměnných, které jsou brány jako exogénni.
Pro testování hypotézy efektivního využívání informací musí být informační množina použitá
v jednom modelu obsažena v množině používané v jiném modelu, to ale obecně neplatí pro
modely, které se liší ve svých exogenních proměnných.
29
2.5 Alternativní metoda pro hodnocení přesnosti předpovědí
Metoda popisovaná v tomto oddílu zohledňuje nejistotu obsaženou v exogenních proměnných
a též fakt, že se rozptyl chyb předpovědí mění v čase. Dále se systematickým způsobem
zabývá otázkou chybné specifikace modelu. Ta se podílí na čtyřech hlavních zdrojích
nejistoty prognózy, jmenovitě:
(1) nejistoty v důsledku přítomnosti chybových členů regresí
(2) nejistoty v důsledku nepřesných odhadů modelových koeficientů
(3) nejistoty způsobené nepřesnými předpověďmi exogenních proměnných a
(4) nejistoty plynoucí z případné chybné specifikace modelu.
Metoda je podrobně popsána v práci Fair (1980). Následný text je nástinem hlavních rysů
v této práci podrobně rozvedených úvah.
Odhadování nejistoty plynoucí z přítomnosti chybových členů a koeficientů může být
provedeno prostředky stochastické simulace. Nechť aftk značí rozptyl predpovední chyby pro
Är-té období dopředu ,,/-té"proměnné ze simulace začínající v období „t". Máme-li dáno „J"
pokusů popsaných v sekci 2, pak odhad a)tk při stochastické simulaci (označený jako ôftk) je
kdeyitk')Q určená vztahem (2). Jestliže je požadován pouze odhad nejistoty vyplývající z
přítomnosti chybových členů, pak se do jednotlivých vzorků zařadí pouze různá rozdělení
chybových členů.
Existují dva krajně protilehlé předpoklady, které mohou být vysloveny ohledně nejistoty
obsažené v exogenních proměnných. Jedním z nich přirozeně je, že žádná nejistota ohledně
chování exogenních proměnných neexistuje. Alternativou k tomuto náhledu je, že nejistota
týkající se předpovědí exogenních proměnných je víceméně obdobná jako nejistota v
předpovědích endogenní proměnné. V rámci tohoto druhého předpokladu bychom mohli,
například, odhadnout autoregresní rovnici pro každou exogénni proměnnou a přidat tyto
rovnice do analyzovaného modelu. Tento rozšířený model, který už nebude mít žádné
(6)
30
exogénni proměnné, by pak mohl být použit pro odhady rozptylů získané pomocí stochastické
simulace. Zatímco v případě platnosti prvního předpokladu bude zřejmě ve většině aplikací
nejistota obsažená v exogénni proměnné podhodnocena, za platnosti druhého předpokladu
bude naopak patrně míra této nejistoty nadhodnocena. To platí zejména pro proměnné
reprezentující nástroje fiskální politiky v makroekonomických modelech, kde jsou vládní
rozpočtová data obvykle docela užitečná pro účely předpovědí prováděných minimálně na
osm čtvrtletí dopředu. Nej lepší aproximace (predikovaných hodnot) tedy pravděpodobně leží
někde mezi těmito dvěma předpoklady.
Předpoklad, který byl učiněn k získání výsledků obsažených v práci Fair[9], spočíval mezi
oběma těmito krajními předpoklady. Postup, který byl zde použit, byl založen na odhadu
parametrů autoregresní rovnice až do osmého řádu pro každou exogénni proměnnou (se
zahrnutím konstanty a časové proměnné do rovnice) a následně byla vzata odhadnutá
směrodatná odchylka z této regrese jako odhad míry nejistoty vztažené k předpovědi změny v
této proměnné pro každé období. Tento postup zanedbává nejistotu v odhadech koeficientů v
autoregresních rovnicích, což je jeden z důvodů, proč tato situace není tak extrémní jako
druhý polární předpoklad. V dřívější stochastické simulační studii Haitovsky a Wallace [21],
byly pro exogénni proměnné formulovány a odhadnuty autoregresní rovnice třetího řádu a
tyto rovnice byly do modelu následně přidány. Tato procedura je v plném souladu s druhým
výše uvedeným polárním předpokladem s tou výjimkou, že pro účely stochastické simulace
vzali Haitovsky a Wallace rozptyly chybových členů tak, aby se rovnaly polovině
odhadovaných rozptylů. Oba autoři tento postup (str. 267-268 jejich textu) hájí z důvodu, že
nepřesnost předpovědi plynoucí z nejistoty exogenních proměnných bude pravděpodobně
menší než ta, která se projevuje v autoregresní ch rovnicích.
Dalším možným postupem, který by mohl být použit pro exogénni veličiny, by bylo
shromáždit z různých servisních zdrojů data o ex ante předpovědních chybách exogenních
proměnných (rozuměno exogénni pro naše účely, nikoliv pro prognostické agentury). Z těchto
chyb pro jednotlivá období by se daly odhadnout směrodatné odchylky každé exogénni
proměnné a následně pak použít tyto odchylky pro datové vzorky uplatněné ve stochastické
simulaci.
Pro účely popisu prezentované metody, vše, co je třeba předpokládat, je to, že existuje vůbec
nějaký postup pro odhad stupně nejistoty obsažené v exogénni proměnné. Pokud rovnice pro
31
exogénni proměnné do modelu přidány nejsou, ale místo toho se uplatní některá náhradní/
polovičatá procedura, pak každý experiment stochastické simulace sestává ze vzorku
chybových členů, koeficientů a z chyb obsažených v exogenních proměnných. Pokud ale
takové rovnice do modelu přidány jsou, pak každý pokus sestává ze vzorku chybových členů
a z koeficientů převzatých jak ze strukturních rovnic modelu, tak z rovnic popisujících
chování přítomných exogenních proměnných.
V každém případě, nechť ôftk značí odhad rozptylu predpovední chyby ve stochastické
simulaci, která bere v úvahu nejistotu přítomnou v exogénni proměnné. Přitom ôftk se liší od
ôf& z (6), v tom, že pokusy pro črftk zahrnují výběry chyb obsažené v exogénni proměnné.
Odhadování nejistoty plynoucí z chybné specifikace modelu je nejobtížnější a nákladnou
součástí metody. Vyžaduje to postupné znovu odhadování a stochastickou simulaci modelu.
Je to založeno na srovnání odhadnutých rozptylů vypočtených pomocí stochastické simulace
s odhadnutými rozptyly vypočítanými z chyb předpovědi prováděných „mimo vzorek".
Uvažujme nyní stochastickou simulaci prováděnou pouze s ohledem na chybový člen dané
strukturní rovnice a na její koeficienty (bez zahrnutí nejistoty případně obsažené v exogenních
proměnných). Předpokládejme, že období předpovědi začíná jedno období po skončení
období, z něhož je kvantifikována rovnice a toto období označme jako /. Jak bylo uvedeno
výše, z této stochastické simulace se získá odhad rozptylu predpovední chyby af&. Z této
simulace také získáme odhad očekávané hodnoty předpovědi proměnné inak období dopředu;
jde o yítk z rovnice (2). Rozdíl mezi tímto odhadem a skutečnou hodnotou yit+k_x je střední
chyba předpovědi:
Ě
«k=yu+k-i-y«k O)
Jestliže předpokládáme, že se ynk přesně rovná skutečné střední hodnotě yjtk pak j e člen ejtkv
(7) náhodný výběr z rozdělení se známou nulovou střední hodnotou a s rozptylem rovným
o]tk . Čtverec této chyby fi^je takto za tohoto předpokladu nestranným odhadem veličiny o]tk
. Máme tedy dva odhady veličiny of&; jeden je spočtený ze střední predpovední chyby a
32
druhý je vypočtený na základě stochastické simulace. Nechť djtk označuje rozdíl mezi těmito
dvěma odhady:
ditk=£?tk-č?tk (8)
V případě, že se dále předpokládá, že se af& přesně rovná skutečné hodnotě, pak djtkje
rozdílem mezi odhadovaným rozptylem (založeným na střední chybě předpovědi) a skutečnou
hodnotou rozptylu. Proto je, za platnosti dvou předpokladů, že v odhadech získaných
stochastickou simulací nedojde k chybě, střední hodnota ditk nulová.
Předpoklad, že v odhadech pořízených stochastickou simulací nedojde k chybě, tj. že
y,tk=
y,tk2i
ôftk= a
lk)Q
očividně přinejlepším správný jen přibližně. Dokonce i při
nekonečném počtu provedených výběrů by takový předpoklad nebyl správný, protože výběry
jsou prováděny z odhadovaných, nikoliv ze skutečných rozdělení. Zdá se však opravdu, že
chyba vnesená tímto předpokladem bude patrně malá vzhledem k chybě způsobené
skutečností, že pokud jde o střední hodnotu rozdělení djtk, je třeba určitý předpoklad o ní
zavést. Díky tomu nelze o chybě vzniklé při stochastické simulaci nic víc říci. Důraz je místo
toho kladen na možné předpoklady, pokud jde o střední hodnotu rozdělení dltk,pň přijatém
předpokladu o neexistenci chyby provázející stochastickou simulaci.
Právě popsaný postup používá dané období estimace a dané období předpovědi. Uveďme si
příklad s předpokladem, že máme k dispozici údaje za období od 1 do 100. Model pak lze
odhadnout pomocí, řekněme, prvních 70 období při době předpovědi začínající v 71. období.
Stochastická simulace pro predpovední období bude dávat pro každou i-tou a k-tou hodnotu
dmk z (8). Model může být potom znovu odhadnut až po období 71 s tím, že doba předpovědi
začíná v období 72. Stochastická simulace pro předpověď období bude dávat pro každou i-tou
a k-tou hodnotu dmk z (8). Model může pak být přeodhadnut až po období 71 s předpovědním
obdobím nyní začínajícím v období 72. Stochastická simulace pro toto predpovední období
poskytne pro každé /' a ^hodnotudmk z (8). Tento proces může být postupně opakován až po
období 99. Pro předpověď o jedno období dopředu (& = l)může takováto procedura
poskytnout pro každou /-tou proměnnou 30 hodnot dia (t = 71,..., 100); pro předpověď o dvě
období dopředu (k = 2) se takto získá 29 hodnot djt2 (t = 72,..., 100) a tak dále. Pokud
33
přijmeme pro všechna / předpoklad o neexistenci chyby spojené se simulacemi, pak pro
všechna / bude střední hodnota odchylek djtk nulová.
Až dosud byl výklad založen na předpokladu, že analyzovaný model je přesně specifikován.
Případná chybná specifikace modelu bude mít na odchylky djtk v (8) dva účinky. Za prvé,
pokud je model chybně specifikován, nebudou obecně odhadnuté kovarianční matice, které se
užívají při stochastické simulaci, nestrannými odhady skutečných kovariančních matic.
Odhadnuté rozptyly spočtené nástroji stochastické simulace budou tedy obecně vychýlené. Za
druhé, odhadnuté rozptyly spočtené z předpovědních chyb budou obecně vychýlenými
rozptyly skutečných rozptylů. Protože chybná specifikace ovlivňuje oba odhady, bude
celkový účinek na djtk nejasný. Je možné, že chybná specifikace ovlivní oba odhady v tomtéž
směru a ponechá tedy střední hodnotu jejich rozdílu nulovou. Obecně se to ale nezdá
pravděpodobné a tak bychom neměli očekávat, že střední hodnota odchylekditk bude
v chybně specifikovaném modelu nulová. Střední hodnota může být v chybně specifikovaném
modelu spíše záporná než kladná, byť se obecně zdá, že bude kladná. Vzhledem k možnosti
nepřesností v analyzovaných datech se zdá, že chybná specifikace modelu bude mít na
predpovední chybu větší kladný vliv vně vzorku než na odhadované kovarianční matice (ty
jsou odhadované uvnitř vzorku).
Vyšetřování toho, jak se hodnoty djtk mění v průběhu času (pro daná /' a k) může odkrýt
informaci ohledně síly a slabosti modelu, kterou bychom jinak nezískali. Tato informace
může být následně užitečná v další práci s modelem. Individuální hodnoty mohou takto být
zajímavé samy o sobě nehledě na jejich možné využití při odhadování celkové predpovední
nejistoty.
Pro posouzení celkové nejistoty odhadů musíme učinit vhodný předpoklad ohledně toho,
jakým způsobem ovlivňuje chybná specifikace střední hodnotu odchylek djtk. U výsledků
popsaných v práci Fair (1980) se předpokládalo, že střední hodnota odchylek djtk)Q v čase
konstantní. Pro pevné /' a k se předpokládalo, že chybná specifikace ovlivňuje střední hodnotu
rozdělení odchylek ditk shodným způsobem pro všechna t. V úvahu ale přicházejí i jiné
předpoklady. Mohli bychom např. předpokládat, že střední hodnota je funkcí jiných
proměnných. (Prostým příkladem v tomto směru by byl předpoklad o lineárním trendu této
34
střední hodnoty). Za tohoto předpokladu by se střední hodnota mohla odhadnout regresí z
regrese ditk na tyto proměnné. Pro případ konstantní střední hodnoty by tato regrese regresí na
konstantu (zde odhadovaný konstantní člen regrese je právě střední hodnotou odchylek djtk).
Predikovaná hodnota z této regrese pro období /, označená djtk j e odhadnutou střední hodnotou
(pro období /.)
Odhad celkového rozptylu predpovední chyby, označený symbolem áftkje součtem ďftk
(odhad rozptylu při stochastických simulacích, tzn. odhad rozptylu způsobený přítomností
chybových členů, odhadovaných koeficientů a exogenních proměnných) - a hodnoty djtk .
ô?*=ä?*+ditk (9)
Vzhledem k tomu, že postup, ke kterému jsem došla při určení a]tk, bere v úvahu čtyři hlavní
zdroje nejistoty předpovědi, mohou být hodnoty aftkporovnány v rámci analyzovaných
modelů při daných hodnotách i, kat. Například, kdyby měl uvažovaný model trvale nižší
hodnoty cr^než modely ostatní, byl by to docela silný důkaz k vyslovení závěru, že je to
přesnější model a tedy vede k lepšímu přiblížení ke skutečné modelové struktuře.
Tím je ukončen hrubý nárys užité metody. Může být užitečné přezkoumat hlavní kroky, z
nichž sestává výpočet áf& v (9). Předpokládejme, že data jsou dostupná pro období od 1 až po
T, a že máme zájem určit odhad nejistoty předpovědi pro osm období dopředu, počínaje
obdobím T+l (tedy při výpočtu áftkpro t = T +1 a k = 1,...,8). Máme-li danou základní
množinu hodnot exogenních proměnných pro období od T+l do T+8, můžeme spočítat črftlc
pro / = T+l a k =1, ...,Spomocí stochastické simulace. Každý iterační pokus se skládá z jedné
dynamické simulace prováděné přes 8-období a vyžaduje přitom vzorek sestávající jednak z
chyb způsobených přítomností náhodných složek regresní rovnice, dále regresních koeficientů
a konečně z chyb v exogenních proměnných. Tyto vzorky jsou založeny na odhadu modelu
provedeného přes období T. Jedná se o relativně levnou součást metody. „Nákladnou" část
tvoří po sobě jdoucí znovu- odhadování a stochastické simulace modelu, které jsou potřebné
při výpočtu hodnot ditk. Ve výše uvedeném příkladu by se mělo při výpočtu hodnoty ditk
provést 30 odhadů modelu a 30 stochastických simulací. Poté, co jsou tyto hodnoty
35
vypočítány řekněme od období T-rdo T, lze pak djtk spočítat pro t = T + J a k = 1,...,8 s
využitím jakékoliv přijatelného předpokladu vysloveného o rozdělení ditk . To umožní, aby se
ôf& v (9) spočetla pro / = T + 1 a k = 1,...,8.
V procedurách postupného znovuodhadování modelu může nebo nemusí být první období z
intervalu, přes něhož je model odhadován, pokaždé zvýšeno o jednu. Kritérium, které je třeba
použít při rozhodování, o kolik tuto hodnotu zvýšit, je vybrat takový postup, pro který je
pravděpodobné, že bude odpovídat zvolenému předpokladu o tvaru rozdělení ditk a které bude
nej lepší aproximací skutečnosti. Je také možné vzít vzdálenost mezi posledním obdobím
intervalu, přes který provádíme estimaci, a prvním obdobím intervalu, pro který provádíme
předpověď, jinou než 1, jak bylo činěno výše.
Je důležité poznamenat, že výše uvedený odhad střední hodnoty rozdělení odchylekditk není
obecně vydatný, protože chybový člen v regresi ditk)Q obecně heteroskedastický. Dokonce i
při nulové hypotéze nepřítomnosti chybné specifikace v modelu (tzn.model je korektně
specifikován) nebude rozptyl rozdělení veličiny djtk konstantní v čase. Je však ale pravda, že
I
veličina £itk /(áftk +djtk)2
má při této nulové hypotéze jednotkový rozptyl, a tak můžeme
předpokládat, že to není špatná aproximace a že ě)tk I(áftk +djlk)mk konstantní rozptyl v čase.
Tato úvaha pak dává podnět k následujícímu iteračnímu procesu:
1) Pro každé pevné /' a k spočítámedjtk z regrese pro ditk Jak bylo uvedeno výše;
2) V regresi pro ditk podělíme každé pozorování součtem ôftk+djtk, spustíme další
regresi a vypočítáme djtk z této regrese
3) Opakujeme krok 2), dokud se dva po sobě jdoucí odhady djtk nedostanou pod určitou
předepsanou toleranční hladinu.
Litterman ve své práci [21] provedl tento postup pro řadu modelů pro případ, ve kterém
jedinou vysvětlující proměnnou v ditk regresi byl konstantní člen (tzn. jde o případ, ve kterém
36
je formulována nulová hypotéza tak, že střední hodnota rozdělení veličiny djtkje konstantní v
čase).
Jsme li ochotní předpokládat, že éf&']e normálně rozdělený náhodný vektor, což je v nej lepším
případě aproximativní přiblížení realitě, potom Litterman ve své práci [21] ukázal, že pomocí
výše uvedených iteračních postupů získáme maximálně věrohodné odhady. Litterman
používal tento předpoklad k testování hypotézy (pomocí testu věrohodnostního poměru: LRtest),
že střední hodnota rozdělení veličiny djtk)Q stejná pro první a druhou polovinou vzorků.
Hypotéza o rovnosti středních hodnot byla zamítnuta na 5%-ní úrovni v pouze ve 3 z celkem
24 testů. Tyto výsledky tedy naznačují, že předpoklad o konstantní střední hodnotě rozdělení
veličiny djtk, nemusí být v mnoha případech špatnou aproximací reality. K tomuto
závěrudošel také Fair ve svém textu [6], kde byly grafy hodnot ditk vyšetřovány z pohledu
změny času (při pevných hodnotách indexů i a k). Z těchto grafů nevyplývají žádné náznaky
toho, že by se střední hodnota v průběhu času měnila.
Střední hodnota rozdělení veličiny djtkmůze být interpretována jako míra průměrné
nevysvětlené části rozptylu predpovední chyby, (to znamená ta jeho část, jež není vysvětlena
hodnotou áltk), spíše než jako měřítko chybné specifikace modelu. Pomocí tohoto výkladu Litterman
ve své práci [21] zkoumal, zda použití odhadnutých středních hodnot rozdělení
veličin djtkvede k přesnějším odhadům rozptylů predpovední ch chyb. Výsledky jeho testů,
které jsou založeny na předpokladu normality, ukazují, že pomocí odhadnutých středních
hodnot jsou získány podstatně přesnější odhady. Celkové výsledky Littermanova zkoumání
jsou tedy docela povzbudivé, pokud jde o potenciální užitečnost metody popisované v této
části.
2.6 Závěr
Z této kapitoly by mělo být zřejmé, že srovnání přesnosti předpovědi alternativních modelů
není nijak jednoduché cvičení. Obtížnost posouzení alternativních modelů je nepochybně
jedním z hlavních důvodů, proč je v současné době tak málo shody v tom, který z modelů se
nejlépe přibližuje skutečné struktuře ekonomiky. Pokud by bylo možné snadno určit, zdaje
jeden model přesnější než jiný, nejspíš by se stalo předmětem všeobecně shody, který
konkrétní model se bude používat. Při další práci na metodách popsaných v sekci 5 se
37
v blízké budoucnosti možná dostaneme k systematičtějšímu porovnání modelů. Možná nám
používání těchto metod v příštích 10ti - 201etech sníží četnost a hloubku sporů, které v
současné době řešíme.
38
3 TAXONOMIE ZÁKLADNÍCH PRICIN PREDIKČNÍCH
SELHÁNÍ
Obsahem další části mé diplomové práce bude přeložený, mírně upravený a komentovaný text
autorů Davida F.Hendryho a Grayhama E.Mizona[13], kteří se - jako jedni z nemnoha
teoretických ekonometrů - ujali podrobného ekonometrického rozboru příčin, proč
ekonometrické modely, vcelku bez ohledu na míru složitosti své konstrukce, selhávají
v případech, kdy se ekonomika dostane do „nestandardního stavu". Tímto stavem lze
charakterizovat všeobecný vývoj národních ekonomik poté, co se rozšířily dopady americké
hypotéční krize, jejichž rozsah a závažnost vyvstaly v průběhu roku 2008 (byť její symptomy
byly patrné již dříve) a přenesly se do mnoha jiných částí světa, především do Evropy, kdy
ekonomika převážné většiny evropských zemí (snad s výjimkou Polska) reagovala poklesem
růstových indikátorů.
V jejich textu, který zde prezentujeme, se objevuje detailní kategorizace možných příčin, proč
modely selhaly. Tyto příčiny autoři (s exaktnějším vymezením v jiné své práci[15]) rozdělují
na dvě základní kategorie: vnitřní (intrinsicke) příčiny selhání, do kterých řadí mj.
nesprávnost výchozí specifikace modelu, nepřesnosti v hodnotách modelových dat,
nepřesnost při odhadech modelových parametrů nebo jejich změny v pozorovaném období,
vliv v modelu nezachycených faktorů apod.
Druhá kategorie pokrývá příčiny, které nebyly zaznamenány v chování ekonomické reality
během období, za které byla získávána data. Mluví o nich jako o vnějších (extrinsických)
příčinách. Ty se vesměs vztahují k neznámým nebo měnícím se prvkům chování
ekonomických indikátorů, které jsou předmětem modelování a zejména předpovědi vně
(téměř výlučně směrem dopředu) pozorovaného období. K těmto příčinám patří především:
neznámé projevy ve změnách DGP v dohledné budoucnosti, zákonitosti přenesené z chování
(případně i šokového) jedné proměnné na jiné v budoucnosti, obecná tendence růstu
predpovední nejistoty s prodlužujícím se předpovědním obdobím, dopad vlivu neočekávané,
nepředvídatelné budoucí (šokové) události apod.
Sokovým chováním je zde (na rozdíl od některých současných makroekonomických statí,
kde je jím chápána téměř jakákoliv změna čehokoliv v modelu a šok je tak (zjednodušeně až
zcestně) ztotožněn s jakoukoliv, i mírnou změnou) rozuměn skutečné pádný vnější impuls,
39
který znatelně vychýlí do té doby celkem ustálené chování ekonomiky do těžko předvídatelné
až nepředvídatelné polohy a zpravidla znamená přinejmenším přechodně nerovnovážný stav.
Takovýto šok (v pravém slova smyslu) pak vede k déledobému narovnávání ekonomické
reality opět do (jakžtakž) rovnovážného stavu a je zpravidla spojen spotřebou vnějšího
zásahu vládního nebo jiného rozhodovacího subjektu.
V některých textech nedávné doby se slůvkem „šok" plýtvá dokonce do té míry, že je obtížné
v údajně „šokovém chování" rozlišit změny v chování proměnných, změny v hodnotách
parametrů, změny vlastností (především rozptylu) náhodné složky rovnice, změny
v modelové specifikaci, změny v budoucí struktuře modelu atd. Tomu se oba autoři - jako
precizní ekonometričtí teoretici - důsledně vyhýbají, takže v daném kontextu situace mluví
převážně o posunech (shifts) nikoliv o šocích (shoscks).
Základním konceptem, z něhož autoři vycházejí, je popis chování modelovaného segmentu
ekonomiky jako procesu, který generuje pozorovaná ekonomická data, tzv. DGP („data
generatingprocess"). Ten je chápán jako (obecně a zpravidla) vícerozměrný náhodný proces
s parametrizací provedenou přes pozorované období, případně kointegrovaný, zejména pokud
modelované veličina vykazuje podobné vývojové trendy s jinými v průběhu plynutí času.
Předpokládá se (ve shodě s převažující ekonomickou realitou) obecně nestacionární chování
modelových veličin, v jej ich ilustrativním modelu je (přes jeho jednoduchost) důsledně
rozlišena deterministická a stochastická nestacionarita. Jak je zjejich docela průhledného
modelu patrné, je vliv jednotlivých modelových „poruch", které jsou v textu podrobně
kategorizovány, dosti rozdílný (což není nijak proti očekávání) a jsou zde formulovány
indicie, které z těchto poruch mají primární (až fatální) dopad na jeho výpovědní schopnost,
zejména na možnost jeho využití k následným predikcím. Výsledky a zjištění přitom mohou
sloužit kjisté diferenciaci poruch, způsobujících vážné obtíže pro činění předpovědí, popř.
znemožňující predikovatelnost vůbec. Jakkoliv nelze z provedené analýzy vyvozovat
generalizující závěry (studie má zejména průzkumný, explorativní charakter), je nesporně
jednou z nemnoha až dosud provedených detailních teoretických analýz zkoumajících otázku
příčin ne/předvídatelnosti.
40
3.1 Ekonomické předpovídání
Předpovídání je obtížné. Graf č.3.1a ze zprávy o vývoji britské inflace: Bank of England
Inflation report z února 2007 ukazuje svou předpověď z tehdejší doby pro meziroční změny
v HDP Spojeného království „ustáleně, jak věci jdou" až do konce roku 2009. Graf č. 3.1.b
aktualizuje jejich předpovědi k únoru 2008 až do konce roku 2010: je zde již patrný zřetelný
pokles HDP. Avšak ani tento avizovaný pokles neznamená nic oproti 9 % poklesu v
meziročních hodnotách, ke kterému došlo, což bylo v této fázi neočekávané víceméně pro
všechny ekonomické analytiky. Obr. 1 zaznamenává aktuální změny v logaritmech sezónně
očištěného britského HDP v meziročních mírách mezi obdobími 1Q2008 až 2Q2011. Jak lze
nahlédnout, je zde ostrý propad na konci r. 2008. Na konci roku 2006 a na samém počátku
roku 2007 nebylo nic, což by napovídalo, že 16-letý nepřerušovaný růst se pomalu chýlí ke
konci: Dokonce i když problém amerických podřadných sub-prime hypoték nabyl na
zřetelnosti na bankovním radaru, nebylo pravděpodobné, že by kdokoliv předvídal, že právě
tento problém téměř přivede celosvětovou ekonomiku do kolen.
Graf č. 3.1a: Předpověď HDP UK
•
— s
_ •
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
ZOOZ 03 04 05. (36 07 OS
. . . I
09 TO
Zdroj: [13]
41
Graf č. 3. lb: Aktualizová předpověď HDP UK
B a n t e s t i m a t e s o f past g r o w t h • P r o j e c t i o n •
J I l_l I I l_l I I L I i i I J L_l_ I • I J I L_l I I L
•
2
1
I
Ü
r003 Ů4. OS. Oe 07 09 10 11
Zdroj: [13]
Obr. č. 1: Aktuální změny v logaritmech sezónně očištěného britského HDP
U K A řog(HDP)
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
Zdroj: [13]
Tyto grafy zdůrazňují, že ekonomiky jsou obecně nestacionární a vyvíjejí se, přičemž
dokonce i nejlepší ekonomický model se liší od zpodobnění procesu, který vygeneroval
skutečná ekonomická data. Predpovední selhání a předpovědi založené na ekonometrickém
modelu byly vytlačeny tzv. naivními nástroji, jejichž počátky zasahují až do ekonometrické
historie, zčásti z toho důvodu, že téměř žádný predpovední model nevysvětloval neočekávané
42
posuny v poloze (tj. změny v dosavadních průměrech analyzovaných ekonomických
proměnných), přestože se tyto posuny úrovně očividně v realitě vyskytly. Zaznamenejme, že
přidávání proměnných, které „vysvětluji" posuny (endogenních) proměnných v obdobích,
které pokrývá datový vzorek, budou zdokonalovat předpovědi pouze tehdy, pokud tyto
posuny byly naopak v předpovědích předvídány.
Teorie ekonomického předvídání byla dobře vyvinuta pomocí nástrojů zprvu navržených
(norským ekonometrem) Trygve Haavelmem, pokud byl ekonometrický model v souladu se
stacionárním vývojem HDP.
Analyzujme věc statistickými nástroji:
Uvažujme n x 1 (sloupcový) vektory ~ D y (yt\Yt_j,y/), k d e ^ e ^ j e příslušná
parametrická podmnožina a kde Dy(*) označuje rozdělení (hustotu) dat yt podmíněnou
informací obsaženou v datovém vektoru Yt'=(...yj, ,yt_j). V čase T požadujeme
předpověď yf+h\T =
fh(^T ) P r o
budoucí předpověď hodnoty yf+h v čase T+h s využitím
veškeré dostupné informace, kterou máme v čase T. Hlavní otázkou zde je, jak nejlépe vybrat
funkci fh (YT), přičemž dobře známá odpověď na ni znamená využití podmíněné střední
hodnoty yT+w = E\_yT+h |^]> Tato předpověď je nestranná, jelikož platí
E
[(yT+h-yT+h\T)\Y
T] = °
Je rovněž standardně známo, že vektor yT+h,Tmá. nej menší možnou střední čtvercovou
predpovední chybu (ze všech) nestranných prediktorů, která je vyjádřena maticí
M
[_yT+h \Y
T]=e
[(yT+í, - yT+H\T) (yT+h - i w ) % _
Avšak rozdělení DGP („data generating process"), procesu generujícího data, není téměř
nikdy známo, takže stojí před námi šest hlavních požadavků k získání informací o
Dyt (.),t = 1,2,...,T, tj. o sdružené hustotě všech dostupných dat a o její parametrizaci y/, což
můžeme konkrétně stanovit:
43
(i) specifikaci množiny v modelu relevantních proměnných {yt} *mělo by se týkat i
proměnných v \Yt}
(ii) změření, číselné vyjádření těchto proměnných{yř }*mělo by se týkat i proměnných v \Yt}
(iii) formulaci jejich sdruženého rozdělení DY{ (.),t = 1,2,...,T
(iv) adekvátní namodelování vztahů mezi těmito proměnnými
(v) odhadnutí parametrů obsažených v podmnožině y/
a rovněž
(vi) určení vlastnosti rozdělení/)^ (.),t = 1,2,...,Turčující tzv. intrinsickou nejistotu
Všechny tyto požadavky vnášejí nejistoty přítomné „uvnitř vzorku". Za těchto předpokladů o
„vnitřní nejistotě" je vlastní „vnější" předpovědní nejistota určena navíc těmito aspekty:
(vii) neznámými vlastnostmi Dj( (.),t = T + 1,T + 2,...,T + h
(viii) (obvyklým) růstem této nejistoty, když se predikční horizont//zvětšuje
(ix) speciálně pro integrovaná data, a
(x) nejistota je dále zvyšována jakoukoliv změnou vDYt(.),t = T + 1,T + 2,...,T + hnebo
změnou v parametrické množině y/.
Z předchozího vyplývá názorný rozdíl mezi vnitřní a vněj ší (intrinsickou a extrinsickou)
nejistotou, kdy vnitřní pokrývá charakteristiky DGP v rámci pozorovaného vzorku dat,
zatímco vnější se vztahuje k chování DGP v předpovídaném období (a to i s připuštěním
změn v parametrech modelu, který byl sestavován pro pozorované období a kvantifikován
přes hodnoty proměnných v něm).
Přistupme nyní ke strukturaci naší analýzy těchto předpovědních vývodů prostřednictvím
ilustrace na jednoduchém příkladě.
3.2 Ilustrativní příklad: skalární model s autoregresním rozloženým
zpožděním
situace A Uvažujme model, představovaný skalárním autoregresním procesem se zpožděním
závisle proměnné >v(Jen
) 1- řádu. Přistupme ke strukturaci a ilustraci naší analýzy
předchozích předpovědních vývodů prostřednictvím jednoduchého modelu
yt = ju + p.yt_j + y.xt + et , kde et - IN[0;CT£
2
\ , (1)
44
který je stacionární za předpokladu, že -l<p<l. xt je exogénni proměnná
s předpokládaným vlivovým působením na závisle proměnnou. Jestliže p, ae j sou známé
parametry, a hodnoty yt ayt_] jsou pozorovány bez chyb, pak je optimální předpověď pro
budoucí hodnotu yj+i zřejmě dána jako
ýT+l]T ={i+p.yT + y.xT+l.
Uvedený výraz poskytne nestrannou předpověď, neboť
E yr+i yr+\\T K r > X
T+\
E[p-p + (p-p)yT+(y-y).xT+l + eT+l] = 0 ,
tzn. střední hodnota předpovědi je nulová snejmenším možným podmíněným i
nepodmíněným rozptylem označeným Dy^TC)
V (>V+i ír+i|r ) >X
T+I ~ E[£
T+I ] ~ ° e •>
1 T+1
Zde z tvaru rozděleníDY T(-) vypl ývá tvar rozdělení DY T+I(-)-> přičemž toto rozdělení je
T7
i 7
E>Y T + 1 0" IN\fl + pyj + 'fíT+l>(J
eZ
\- ^ e
většině literatury zaměřené na predikce
s následnými důsledky odhadování parametrů strukturních modelů typu (1) se často
předpokládá soulad s tímto DGP.
Nicméně, v souvislosti svýše uvedeným seznamem 10 požadavků, vyvstává 10 návazných
problémů:
(i*) Specifikace modelu nemusí být úplná, jestliže např. yt není skalární veličina
(ii*) Měření může být nepřesné, jestliže např. místo správné hodnotyyt byla pozorována
nepřesná yt
(iii*) Formulace může být neadekvátní, jestliže např. byla v modelu opomenuta konstanta ju
nebo v něm byla vynechána exogenní veličina xt
(iv*) Namodelování vztahů mezi proměnnými bylo chybné, jestliže např. byla místoyt_j
vzata yt_2
2
45
(v*) Odhadování parametru/? přináší zkreslení, (p-Ep)yTa rozptyl V(p)yT
2
(podobně
jako odhadování parametru^, pokud j e do rovnice začleněna exogénni proměnná xt.
(vi*) Vždy je přítomna intrinsická nejistota plynoucí z Dy^f.) •
(vii*) Výše uvedená predikční analýza předpokládá, že £j+i ~ INp;cr£ J, přitom ale rozptyl
V{£f+i) může mít jinou velikost (odlišnou od (7£
2
)
(viii*) Pokud H>1, může vzniknout vícekroková predpovední chyba Phl
'£
T+h
srovnatelná s tou, které je patrná na prvním grafu, způsobující, že rozptyl
J H
1-P
2
2 ~£
Poznámka: Vzhl edem k tomu, že jde o rozptyl součtu H nezávislých náhodných veličin se
shodným rozptylem, pak
JH
rrLlI Jl-1„ \ „ 2 L . . 2 . . 4 , , .2H-2) 1-P _ 2
V\Ph=lP £
T+hj=(7
e V + P +P +- + P )= ~ ^ 2 Os
2
(ix*) Pokud tedy p = 1, pak rozptyl předpovědi bude inklinovat k hodnotě p = H.ae
a dále
(x*) Pokud by se některý z parametrů jU,p, y měnil, pak by nejspíše došlo k selhání
předpovědi.
Interakce mezi všemi těmito obtížemi by mohly pro prognostiky představovat
provázaný/komplikovaný problém. Naštěstí, většina těchto problémů nevede k takovému
druhu chybného předpovídání, jež bylo zaznamenáno v grafech výše, což nyní ozřejmíme.
Naneštěstí, jak ale také ukážeme, dokonce i po určení zdroje těchto predpovední ch selhání
zůstává před výzkumníky zabývající se modelováním strukturních schémat mnoho zásadních
problémů.
situace B Abychom poněkud zjednodušili první kolo analýzy, předpokládejme, že se ve
specifikaci (1) DGP nevyskytuje intercept, tzn. položíme v (1), kde je tato konstanta
přítomna, ale známa p, = 0. To nám umožní soustředit se na předpovědi typu (2) při znalosti
46
zbývajících strukturních parametrů p, y, přičemž tyto parametry byly odhadnuty ze vzorku
přesných dat za období / = 1,2,....T.
yT+1\T=p-yT + f-xT+l. (3)
V dalším výkladu model úmyslně chybně specifikujeme tak, že vynecháme exogénni
proměnnou xt a následně ještě změníme hodnotu parametru p. Grafy uvedené níže
vycházejí z jednoho náhodného vzorku o T = 50 pozorováních z modelu (1) v němž
xt~IN[0;l], pokud zvolíme p = 0,8, dále položíme y = l a rozptyl a u
2
= 1. Pozdější
teoretická analýza potvrdí, že dosažené výsledky jsou docela obecné, a to navzdory
specifičnosti ilustrace, ale grafy osvětlí klíčové závěry.
Obr. 2 panelu a) zaznamenává předpovědi jednak, když jsou parametry p a y známé a v čase
konstantní -situace B l , jednak, když jsou oba tyto parametry odhadovány (přes pozorovaný
vzorek) - situace B2. Hodnota >'r+A|r+A_1 ze vztahu (2) je vněm ukázána spolu s chybovými
intervaly o velikosti ±2<7, přičemž předpovědi, když parametry p a y odhadujeme, jsou
vyznačeny jako yT+^T+fJ_} s příslušnými předpovědními intervaly. Jak lze nahlédnout, tyto
dvě predpovední množiny jsou téměř identické, pouze s malým zvýšením nejistoty plynoucí
z (nepřesnosti) odhadu obou parametrů. Nezdá se tedy, že by odhad sám o sobě byl větším
problémem a je navíc známo, že velikost jeho pravděpodobnostní chyby je zanedbatelná (je
řádu Op (l/T)).
situace C Dále budeme uvažovat dopad predpovední výstižnosti a přesnosti při nepřesné
specifikaci modelu. Zde to bude znamenat nezbytně vynechání proměnné yt jak ukazuje obr.
2 panel b). Pokud je proměnná xtvynechána jak v průběhu odhadování, tak při předpovědi,
j sou výsledné předpovědi rovny
yT+i\T=P-yT, (4).
Tyto jsou zřejmě horší než předpovědi pořízené při přesné specifikaci, ale jsou stále dost
dobré na to, aby ležely uvnitř ex onte vyznačených předpovědních intervalů. Takže
predpovední selhání není nijak způsobeno problémem chybné specifikace.
47
Obr. 2: Předpovědi při správné a chybné specifikaci modelu
2.5
0.0
-2.5
-5.0
-7.5
Správná specifikace
30
v
r+A|r+ň-i
2.5
0.0
-2.5
-5.0
-7.5
Chybná specifikace
^T+h\T+h-\
40 45 50
Zdroj: [13]
situace D Konečně, v rámci tohoto šetření přistoupíme počínaje obdobím T = 40 ke změně
původní hodnoty parametru p na poloviční hodnotu p* = 0,4 a následně v obdobích od
T = 46 po T = 50 se navrátíme na jeho původní hodnotu p = 0,8, takže se DGP navrátí do
svého původního stavu. Tyto zásahy napodobují krátkou, ostrou změnu dynamiky režimu a
jsou představovány dvojicí zápisů, a to jednak
y T + h = .yT+h-i + fl*T+h + £T+h (5),
což představuje trajektorii chování v časových obdobích h = 1,2,...,5, načež se opět vrátíme k
průběhu
y T + h = $yT+h-i + fi*T+h + ^T+h (6),
v časových obdobích h = 6,7,...,10
48
Abychom vyhověli možným interakcím způsobeným též chybnou modelovou specifikací,
obrátíme pozornost nejdříve na model (3), pak též užijeme model (4). Obr. 3 panel c)
vykresluje první případ. Zde zaznamenáváme jen slabý dopad způsobený půlením parametru
p a pak téměř žádný, pokud ho opět zdvojnásobíme, takže predpovední selhání není zde
právě problémem měnících se parametrů.
Obr. 3: Správná a chybní specifikace s měnícím se p
Zdroj: [13]
situace E Dále uplatníme schéma (4), takže do šetření zahrneme veškerou predpovední
nejistotu, chybnou modelovou specifikaci i nekonstantnost parametrů v čase. Opět zde
nicméně zaznamenáme jen sotva postřehnutelný dopad z půlení a následného zdvojení
parametru p , jak bylo vidět v obr. 3 panel d). Ať tedy způsobilo projev chování HDP patrný
na obr.l cokoliv, tyto tři prohřešky ho (samy o sobě) nevysvětlují. A nevysvětluje ho ani
chyba v měření proměnné ani posun v hodnotě parametru y, nehledě na začlenění nebo
vynechání proměnné xt - viz text Hendry a Mizon [13] - a ani užití chybného řádu zpoždění,
třeba v podobě zařazení proměnnéyt _2 místoyt_j . Přirozeně, žádný z těchto dodatečných
omylů nám k dobré predikci nepomůže, ale nejsou to zdroje problému předpovědního selhání.
49
situace F Nyní budeme znovu uvažovat tytéž posuny v hodnotě parametru p, ale tentokrát
v odlišném kontextu, kdy v modelu
zadáme hodnotu parametru ju = 10 .
Nehledě na přesnou specifikaci modelu v rámci pozorovaného vzorku - ať je užit tvar (3)
nebo (4) - zaznamenáváme doslova katastrofický dopad z půlení parametru p, jak je ukázáno
na obr. 4 panelu e) pro předpovědi učiněné z modelu (3). Data jsou zcela nepodobná těm,
které udává vývoj U K FIDP, nejprve silně podhodnocující skutečnost a poté se vracející ke
skutečným hodnotám. Zde je prvních 5 předpovědí těžce vychýleno a každé z nich leží nad
předchozím výstupem navzdory propadnutí hodnoty y. Nicméně když p opět zdvojnásobíme,
predpovední selhání postupně vymizí. Zřetelně je tedy vidět, že hodnoty//, často považované
za rušivý (nuisance) parametr jsou opravdu fundamentální. Takže otázkou je, zda těžiště
problému spočívá v nenulové hodnotě interceptu rovnice nebo v jeho interakci s chybnou
specifikací modelu?
situace G Abychom to ozřejmili, uvažujme - opět pro model, který je v rámci pozorovaného
datového vzorku přesně specifikovaný - předpovědi podle (3) pro tytéž zlomy v hodnotě p
jako v případech (5) a (6), ale s dosazením p = 0 jako hodnoty, která je výzkumníkovi známa.
Místo toho položíme Ext =K = 10 s připomenutím toho, že model je v rámci datového
vzorku přesně specifikován. Má nulový intercept a předpovědi využívají známou hodnotu
x t + n . Navzdory všem těmto rysům výhodnosti je predpovední selhání opět zřetelné, jak
patrno z obrázku 4 panelu f). Ten je téměř identický s výstupem v panelu e).
50
Obr. 4: Správná specifikace s nenulovým 0 a se změněným p
I i i i i I i i i i I i i i i I i i i i L _
30 35 4 0 45 50
Zdroj: [13]
Přesto, jak bude následně vidět, je uvedená domněnka daleko od pravdy. Pokud je model
nekorektně specifikován vynecháním proměnné xt jako tomu bylo v případě (4), pak
předpovídání po těchže zlomech v hodnotě/? jako v případech (5) a (6), ale nyní s oběma
hodnotami ju = 10 a současně K = 10, kde první parametr bude v pozorování T = 41
razantně posunut na hodnotu jU* = 50, načež se potom navrátí od pozorování T = 46
k původní hodnotě jU = 10, takže máme model tvaru
y T + h = ju * .yT+h-i + fi*T+h + £T+h (8),
Ačkoliv se zde zdá pochybné téměř vše, nezaznamenávame přítomnost předpovědního
selhání, pokud využíváme predikční předpis
yr+h\T+h-\ =
M +
P-yr+h-i >
jak j de vidět v obr. 5.
51
Obr 5: Chybná specifikace s n a p dvakrát změněným.
Chybná specifikace, (i = 10,50, K =10
104
102
100
9S
96
94
92
Vr+ň|r+ň-i
Y
T+hJ+h-]
j i i J i i _
30
Zdroj: [13]
3.3 Vysvětlení těchto předpovědních chyb
Jediným vysvětlením pro tuto poněkud zvláštní množinu vystupuje prostý fakt: projevují se
totiž posuny v polohách nebo alternativně v tomto kontextu vyjádřené posuny v dlouhodobé
střední hodnotě. Pokud se vyskytnou, vyplývá odtud predpovední selhání nehledě na to, zda
jsou ostatní aspekty vin-sample modelu či ne. Pokud se naopak nevyskytnou, pak se
nesetkáváme se zřejmým selháním nehledě na to, kolik DGP (data generating process)
parametrů se pohne a jak mnoho. Viníkem toho jsou změny ve střední hodnotě Eyt.
Položme dále A = y/(l — p) a prepíšme DGP v (1) do reparametrizovaného tvaru
4vř ={p- í)bt-i - ° - Ä
(x
t - K
))+£t (9)
a všimněme si, že obecně z (1) nebo z (9) plyne vztah:
52
E{yt) = ^ = 6*0
1-p
V prvních třech případech (situace A,B1,B2) a v posledním případě (G) platí Eyt+n = 0 před i
po posunu v parametru p , zatímco ve druhé množině případů (situace C,D,E) seEyt+n mění
od hodnoty 6 = 50 (6 = 10/0,2) až po 6* «17(6 = 10/0,6) v obou případech e) a f), ale
v případě g) zůstává střední hodnota neměnná: 6 = 6*. Všechny modely v této třídě jsou
modely s rovnovážnou korekcí, takže systematicky selhávají, pokud se střední hodnota
Eyt+n mění při přechodu od 6 k 6*, jelikož předpovědi konvergují zpět k hodnotě 6, bez
ohledu na nové parametrické hodnoty v DGP. Třída modelů s opravenou rovnováhou
(EqCMS) je obsáhlá: VARs, DSGE, ARCH, GARCH a jiné modely volatility. Posuny
v úrovni jsou všudypřítomným a značně zhoubným problémem ovlivňujícím všechny modely
typu EqCMS. Abychom toto tvrzení podložili formálně, zavedeme a vysvětlíme v dalším
taxonomii všech možných zdrojů předpovědních chyb založenou na textu Hendry a Mizon
(2012).
Uvažujme stejně jako dříve DGP, ale tentokrát přepsaný do tvaru
yt=6 + p{yt_j-6)+y{xt-K) + £t, (10)
kde £t ~ IN0,(Te
2
\Eyt = 6,Ext = r , přičemž parametry ^ 0, kde ale exogénni proměnnáxt
je z predpovedního modelu vynechána:
yt =V + P-yt-l+v
t •
Poznámka 1: konformitu zápisů (9) a (10) lze ukázat takto: Pravou stranu (9) upravíme na
tvar
[p-l\{yt-i -9-4*? -«•)) + et = 6 + p.{yt_j -6)-yt_j+{l-p)A{xt -íc)+£t,
neboli po dosazení za A : =6 + p{yt-i -6)-yt_j + y{xt -/c) + et, což j e přesně
pravá strana (10) zmenšená o člen yt-j, a proto se tento výraz rovná rozdíluyt —yt-j = Ayt
53
Poznámka 2: rovnocennost zápisů (1) a (10) lze ukázat rovněž snadno: Platí-li zápis DGP ve
tvaru
yt =M+p-yt-i + ľ-xt+£t, (i)
pak uplatněním střední hodnoty na obě strany (1) máme:
Eyt =ju + p.0+y./c , (1A)
Odečtením (1A) od (1) dostaneme
yt -E
yt = pbt-i -ó)+ Ax
t - «•)+et .
Vzhledem k tomu, že střední hodnota tohoto (stacionárního) procesu se nemění, tj.
Eyt = Eyt_i = 0, je zřejmé, že převedením —Eyt = -6 napravo dostaneme právě vztah (10).
Nepatrně upravený vztah (10)
yt-0 = pbt-i -o)+ r(x
t -K
)+£t,
bychom mohli považovat za vyjádření DGP s centrovanými proměnnými.
Uvažujeme zde jen předpověď o 1 krok dopředu, která nastane po časovém období T s tímto
tvarem DGP po výskytu zlomu od h = 1,2,...
y T + h =0*+p*{yT+h-i -0*)+y*{xT+h -K*)+eT+h (11)
Odhadovaný, nesprávně specifikovaný predpovední model má tvar:
yT+l]T=e + p(yT-0) (12)
odhadovaný za (minulá) období t = 1,2, ,Ts parametrickými odhady Ó,p*0. Nechť
Ep*Pe,
E0ž0e, kde dolní index e označuje střední hodnotu rozdělení (pokud existuje). Předpovídání
se provede na základě odhadnuté hodnoty yT na počátku předpovědi a nese s sebou
predpovední chybu
54
£T+l\T = yT+i ~yT+i\T • T u l z e
vyjádřit jako
ěT+t=0*-0 + p*{yT-0*)-p(yT-0) + r*{xT+1-K*) + eT+1 (13)
Jestliže skutečný DGP má tvar (11) a predpovední schéma je zobrazeno zjednodušeným,
nesprávným předpisem (2), pak zde zaznamenáme všechny hlavní zdroje predpovední chyby,
jmenovitě:
a) stochastické zlomy: původní parametry {p\ y) se změní na hodnoty (yt?, y *)
b) deterministické zlomy: parametry {6,K) se posunou na nové úrovně {0*, K*)
c) vynechané proměnné: exogénni xt je vyloučena jak z estimačního, tak předpovědního
období
d) vychýlené (a nekonzistentní) parametrické odhady: obecně máme p\ ± p^9e± 6
e) nejistota spojená s odhadem parametrů, rozptyl V p,0 ^ 0
f) nejistota spojená s určením předpovědí v počátečním bodě yT
g) inovační chyby (náhodné složky regresní rovnice) £x+h
Tato taxonomie zdrojů predpovední ch chyb odhal uje všechny možné účinky, byť jsem pro
jednoduchost vynechala případné interakční členy o nízkých řádech přesnosti. Výpočet
obsahuje rozvoj každého členu, takže finální složka odpovídá jednoduchému účinku (viz
např. rozklad rozdílu)
e*-e = {e*-e)+{e-ee)+[ee-e) (14)
takže je dekomponována do posunu, zkreslení a estimačního účinku. Většina předchozích
taxonomií se zaměřovala na uzavřené modely, ale vztahují se k ní podobné závěry, jako ty, co
budou diskutovány níže:
55
Taxonomiepro predpovední chyby předpovědí o 1 krok dopředu:
£T+1\TU prvek střední hodnota rozptyl
+ p*){0*-0) (la) {l-p*Jd*-d) 0
+ {p*-p\yT -o) a) 0 (p * -p)2
V (yr )
+ {i-p){e-ee) (iia) [i-p)(e-ee) 0
+ (p-peXyr -o) (nb) 0 (p - p e )2
v(yT )
-p{yT-yT) (in)
-p.E(ýT-yT) P2
v (yT - yT)
- (i-p)(ě-e.) (va) 0 řád menší než 1/T
{p-pe){yT-e) (ivb) • 0 řád menší než 1/T
+ y*{xT+1-K*) (v) 0 r*2
v{ýir+1)
£
T + 1 (vi) 0 Os'
(15)
Rozebereme nyní dopady této taxonomie spojené s predpovední chybou, a to odspoda
tabulky:
(vi) Inovační chyba má střední hodnotu EeT+1 = 0a rozptyl V(eT+j)= (Te
2
, takže nevniká
žádné predpovední zkreslení a rozptyl je zanedbatelného řádu, který je ireducibilní v případě,
že proces et je inovace.
(v): vynechání exogénni proměnné xt vede ke střední hodnotě Ey* {xT+1 - K*)= 0 a k
rozptylu Vy* (xT+1 -?c*) = <jx , takže zde opět nevzniká žádné zkreslení navzdory
jejímu vynechání a změně v hodnotách parametrů, ale toto vynechání zvyšuje rozptyl
(nízkého řádu), které lze snížit zavedením xt do modelu, vyváženém změnou v parametru
K * estimačního rozptylu nízkého řádu.
(ivb): Odhad sklonu regresní přímky má střední hodnotu E(p-pe)(yT -6) • 0, jelikož dle
definice máme£,
(p-/?Ě ,) = 0a též pro druhý člen platíE[yT -6) = 0, ale přidává estimační
rozptyl řádu 1/T.
(iva): Odhad rovnovážné střední hodnoty má také E{\-p){d-6e^ = 0 a rozptyl řádu 1/T.
56
(iii): Nejistota spojená s počátkem předpovědi Ep(yT —yT) je nulová jen tehdy, jestliže je
počátek předpovědi odhadnut nestranně a bude mít rozptyl řádu 1, pokud není počátek znám
s jistotou.
(iib): Také nesprávná specifikace sklonu má nulovou střední hodnotu, neboť
E(p - pe ){yT —0)=0 a současně zvyšuje nepodmíněně rozptyl řádu 1
(iia): Chybná specifikace rovnovážné střední hodnoty kde &ž 0e připadá v úvahu tehdy,
jestliže nebyly modelem podchyceny posuny úrovně, které se uskutečnily v rámci
pozorovaného vzorku, ale její dopady mohou být eliminovány kongruentní procedurou
modelové selekce, která tyto zlomy odstraní
(ib): Také nesprávná specifikace sklonu má střední hodnotu nulovou: E(p * -p){yx ~ 0) = 0,
neboť E[yT —0) = O,ato nezávisle na tom, zda případně p ŕ p* .
(ia) Přítomnost členu [1 — p *)(# * —0) znamená změnu v rovnovážné střední hodnotě - což je
bohužel fundamentálním problémem: Neshoda 0*^0 indukuje systematické predpovední
selhání.
Když odstraníme zlomy vyskytující se v modelu analyzovaném přes pozorovaný datový
vzorek (in-sample), pak i v případě dobrého odhadu počátku předpovědi máme
E(£T+1]T)Q{\-p*){0*-0) (16)
a toto zkreslení přetrvává i u členu £T + 2 ^+ 1 a dalších, pokud užíváme specifikaci (12), dokonce
i tehdy, pokud už žádné další zlomy nenásledují. Pokud parametrju držíme konstantní, ale
pohneme s hodnotou p na úroveň p *, vyvolává to změnu v parametru 0 na novou hodnotu
0 * . Sílu tohoto detailního pohledu dovnitř můžeme ilustrovat na situacích:
(a) Současná změna parametrů jua p o velké hodnoty ale se zachováním rovnosti 0 = 0*
způsobí výstup, který je izomorfní vůčiju = ju* = 0, takže, jak bylo výše uvedeno, není
detekován žádný zlom.
57
(b) Pokud jU = /i* = 0, potom neshoda K ^ K* indukuje predpovední selhání posunem
parametru 8 dokonce i tehdy, když je exogénni proměnná xt_j správně začleněna do modelu
a její hodnoty jsou známé přes celý predpovední horizont.
(c) Jak ukazuje obr. 6, je vhodné v zásadě opakovat tytéž zlomy změnami parametrů jU,ya p
v mnoha kombinacích, takže (bohužel) žádný ekonom ani ekonomický agent nám nemůže
říci, jaký posun ve výstupu se uskuteční ještě dlouho poté.
Obr. 6: Posuny způsobené změnami parametrů ju,ya p
\i = 0, y = 2, K = 5, p = 0,8 změněno na (i = 0, y* = 1,36 , K = 5, p* = 0,6
30 35 40 45 50
\i = 5, y = 1, K = 5, p = 0,8 změněno na \i = 2,5, y = 0,86, K = 5, p* = 0,6
30 35 40 45 50
Zdroj:[13]
Tyto výsledky se vztahují ke všem modelům s korekcí rovnováhy - tzn. tyto modely
systematicky selhávají, pokud se mění střední hodnota Eyt, jelikož modelové předpovědi
konvergují k hodnotě 8 nezávisle na tom, jaká je nová hodnota 8*. Avšak, pokud se
parametr p * změní zpět na původní hodnotu p = 0,8, parametrické hodnoty se vrátí zpět na
úrovně původního DGP, takže je obnovena původní rovnováha a předpovědi následně rychle
konvergují zpět ke střední hodnotě Eyt. Tento úkaz naznačuje, že pokud se DGP vrátí do
svého původního průběhu, původní model se úspěšně „zotaví".
58
3.4 Nástroje robustního předpovídání
Robustní predpovední nástroje mohou v případě procesů, u kterých dochází k posunům
úrovně, předpovídat lépe, pokud je měříme pomocí RMSFE, než sebelépe propracovaný
strukturní model. Vyjádřeme první diferenci (chybně specifikovaného odhadovaného modelu
(12)) tak, že ji položíme rovnou AýT+hp,+hl = pňyT+h_x , což následně vede kjednoduché
předpovědi tvaru
yT+h\T+h-i = yr+h-i + Mľr+A-i (1 7
)
Přesto, že zde autoři použili „chybnou" hodnotu p pro prvních 5 předpovědí, které byly
tvarem (17) nepřesně diferencovány a přestože byla vynechána relevantní exogénni
proměnná, obr. 7 názorně demonstruje, že robustní predpovední model (17) se vyhýbá většině
z posledních 9 předpovědních chyb pro DGP ve srovnání (např.) se situací zobrazenou v obr.3
panelem c. Celková RMSFE pro in-sample model (odhadnutý z dat pozorovaného vzorku)
činila 6,6 ve srovnání s analogickou hodnotou 5,5 pro model (17) s robustní předpovědí zde.
Přitom pro posledních 9 předpovědí byla chyba u prvého modelu rovna 3,8 oproti 2,0
v modelu (17); druhá hodnota je téměř jen poloviční, přičemž zde nedochází
k systematickému předpovědnímu selhání.
59
Obr. 7: Differencované chybné modely se změněným p
30 35 40 45 50
Zdroj: [13]
Taxonomie zdrojů predpovední chyby vztažená k modelu (17) ozřejmuje, proč tomu tak je.
P o l o ž m e
®r+h\T+h-i = yr+h ~ yT+h\T+h-i •
Pro jednoduchost využijeme přesnou hodnotu ýT s rovností p = p , nicméně žádná zobou
podmínek není až tak zásadní. Pak ze (17) plyne:
ěT+1]T =(\-p*)(d*-d)-(\-p*) (yT -0) +r*{xT+1 - K *) - pAyT + eT+1 ,
takže uplatněním středních hodnot s využitím toho, že EyT = 0 máme pro h > 1 vyjádření
EyT+h ~e*+{p*f{e-e*) (is)
takže
E[AyT+h ]~{l-p *\p *)h
~1
{0-0*) (19)
60
a odtud následně
E[eT+1\T\~{l-p*l0-0*) (20)
což je rovno předpovědnímu zkreslení vyjádřenému pro DGP proces odhadnutý za
pozorovaný vzorek.
Avšak, v období T+2 taxonomie diferencovaného nástroje přechází v zápis
^ + 2 \ T + l =-(l-P*hr+l -e*)+j* {xT+2 - K*)-pAyT+1 + eT+2 (21)
takže ze vztahů (18) a (19) vyplývá
E]
£T+2\T+I \~{I-P*\P* - P i e * -o) (22)
Pokud parametr p\* nemá opačné znaménkonež měl p~\, pak zaznamenáme zřetelnou
kompenzaci ve složce - pAxT+1, což pomáhá vysvětlit dřívější predpovední výstup dokonce,
i když platí py ŕ p .
Konečně, situaci v období t+3 vyjadřuje zápis
E
[?T+3\T+2 \~P*(I-P*XP* -PIO * -e)
kterážto střední hodnota je blízká 0, protože platí p^*{l- p^*)< 0,25. V důsledku tohoto, když
se nacházíme v období h-1 > 2období po zlomu, a s využitím platnosti
yT+h\T+h-i = y T + h - i + M ^ - i ( 2 3
)
dostaneme pro predpovední chybu výraz (24)
šT+h]T+h_1={l-p)AyT+h_1={l-p){p*-l){yT+h_2-0*-Á^
jelikož z rovnice (9) plyne
AyT+h_j = [p * -lhr+h-2 -0*-Á* {xT+h_} - K *)) (25)
Tento poslední výraz (spolu s předchozími výsledky) vede mj. k těmto závěrům:
61
a) (25) přesně odráží polohu nové rovnováhy danou členem
[yT+h-2 -0*-Ä* {xT+h_j - K*))
b) obsahuje účinek plynoucí z xT+fl_j, i když je tato veličina vynechána
z předpovědního nástroje
c) stanoví rychlost konvergence k rovnovážné hodnotě koeficientem (p * - i )
d) využívá odhadu y0 správně určeného v rámci pozorovaného vzorku, byť v něm došlo
k posunu
e) kde veličina (1-/3) působí ve (25) j ako „navlhlý trend".
Tato taxonomická zjištění dobře vystihují předchozí grafy a jsou jen málo ovlivněna odhadem
parametru p\. Pro celkovou parametrickou změnu v DGP se robustní nástroj vyhýbá téměř
všemu kromě první predpovední chyby v obrázku 8 panelu I, a to navzdory posunu téměř ve
všech parametrech procesu, v ostrém kontrastu k DGP předpovědím poskytnutým modelem in
sample(odhadnutým z dat pozorovaného vzorku) zobrazeným v panelu II, který ukazuje
obrovská predpovední selhání pro prvních šest predpovední ch chyb.
Robustní predpovední nástroj se vyhýbá systematickému předpovědnímu selhání po výskytu
posunu v úrovni procesu za cenu toho, že nebude patřičně účinný, pokud k žádným posunům
nedojde. Pokud se navrátíme k první přesné specifikaci a srovnáme ji s obrázkem 2 z (2), je
příslušná RMSFE u předpovědí pomocí (17) rovna 1,0 oproti chybě u předpovědí odvozených
pomocí odhadovaného DGP, kde je její velikost 0,87.
62
Obr. 8: Diferencovaný chybný model se změněným p
\i = 5, y = 1, K = 5, p = 0,8 změněné na (i* = 5, y* = 1, K* = 5, p* = 0,8
Zdroj: [13]
3.5 Závěry
Predpovední selhání je způsobeno neočekávanými posuny v poloze. Tyto posuny v poloze
vyvolávají systematicky chybné předpovídání ve všech formách modelů s korekcí rovnováhy,
které obsahuje většina makro-ekonometrických systémů, které jsou používány. Naopak,
každý parametr v procesu, který generuje data, může být posunut bez jakéhokoliv
povšimnutelného účinku na data nebo na model, pokud k žádnému posunu polohy nedojde.
Podobně, jakýkoliv účinek posunu polohy může být vytvořen mnoha různými kombinacemi
pohybujících se (měnících se) parametrů DGP, ale to, které z nich se mění, nemusí být
rozpoznatelné z projevů ještě ani dlouho po výskytu předpovědního selhání. Takže
autentičnost modelu nemůže být spolehlivě kontrolována jeho předpovědním zdarem nebo
naopak selháním. Navíc, mnohé modely jež trpí silným předpovědním selháním na příkladech
s umělými daty, předpovídají s vyžitím předchozí podmíněné střední hodnoty. To, co je
zapotřebí k tomu, aby podmíněné střední hodnoty byly nestrannými prediktory s minimálním
63
rozptylem, je to, aby byly založeny na ex post rozdělení, což ale bohužel vyžaduje křišťálovou
kouli nutnou k tomu, abychom „viděli" do budoucnosti. Dokonce ani znalost budoucích
hodnot nemodelovaných proměnných sama o sobě nestačí k tomu, abychom se vyhnuli
předpovědnímu selhání, pokud jsou v dynamice analyzovaného systému přítomny posuny.
64
4 POROVNANÍ PREDIKCI PRO EXOGÉNNI PROMĚNNÉ
4.1 Konstrukce predikčních tabulek
K porovnání predikcí vycházejících pouze ze znalosti individuálního chování ekonomického
ukazatele (tj. při „nemodelovém", resp. „nekauzálním" přístupu) bylo užito několik převážně
dobře známých vyrovnávacích, resp. predikčních postupů v té podobě, jak jsou známy
z klasické analýzy ekonomických časových řad. Uvedené postupy lze je rozdělit do tří
základních skupin:
a) metody (globálního) trendového vyrovnání a predikce
b) adaptivní predikční postupy
c) stochastické procesy ARMA, resp. ARIMA
5 ohledem na cíl zkoumání a povahu analyzovaných ukazatelů nebyly (záměrně) do
predikčních komparací zařazeny analytické postupy založené na ARCH, GARCH a
příbuzných modelech, neboť smyslem nebylo sledování proměnlivosti variability ukazatele
(nešlo o finanční ukazatele) a délka pozorovaného období s počtem pozorování okolo 60 je
sice dostatečná pro užité postupy, ne už ale pro vysloveně detailní analýzu náhodné složky
procesu generujícího data (DGP).
Pokud jde o metody trendového vyrovnání, je rozsah plauzibilních analyticko-predikčních
metod vcelku determinován: mohly být použity pouze polynomiální trendy „středního
stupně", neboť empirické průběhy ukazatelů vykazovaly (záměrně vůči sledovanému účelu)
nemonotónní průběh, s nejméně dvěma viditelnými poklesy, což apriori vylučovalo trendové
křivky, které postihují jen monotónní (ať rostoucí či klesající) chování (exponenciální,
mocninné, logistické apod.). Dále, s ohledem na nejméně dva viditelné poklesy ve
sledovaném období bylo zřejmé, že jednoduché trendové křivky od lineární po kubickou
nemohou evidentně ani přibližně vystihnout empirický průběh ukazatelů, takže jako
„nejjednodušší" možný trend byl nasazen bikvadratický (tj.polynom 4.stupně) a následně poté
byly víceméně explorativně nadsazeny polynomiální křivky 5., 6., a 8., stupně., přičemž se
zde ex post (ale vcelku očekávaně) ukázalo, že polynomy s lichými maximálními
mocninnými stupni časové proměnné poskytnou horší výsledky než sudé (jak trochu patrno i
na polynomu 5.stupně). Polynomiální křivky dvojciferných stupňů jsou pro analýzu časových
65
řad vzhledem ke známým problémům už zcela nevhodné, takže nad stupeň 8 nebyly použity.
Ostatně i tak je na predikcích zřejmé ostré vybočení predikovaných hodnot z reálně
uvažovatelné budoucí reality již ve 3. či 4, predikčním období...
Použité metody adaptivního vyrovnávání byly parametrizovány obvyklými hodnotami
vyrovnávacích konstant, tedy v rozmezí 0,1 - 0,3 u obou (jednoduchého a dvojitého) metod
Brownova exponenciálního vyrovnávání a s dosazením 0,3 resp. 0,4 pro hodnotu konstanty a,
resp. 0,1 nebo 0,2 pro hodnotu y u Holtova postupu. Případný třetí parametr ovlivňující
adaptaci cyklickésložky u Wintersovy metody jsem vzala doporučovanou hodnotu ô =0,4.
„Triple verze" Brownova exponenciálního vyrovnání užita nebyla, mj. též pro již v E X C E L U
nepřehledně algoritmizovatelné predikční vzorce. Holtova i Wintersova metoda byly
uplatněny ve svých aditivních verzích. Víceméně pokusně byly připojeny dva jednoduché
„robustní" predikční metody, z nichž první byl Hendrym a Mizonem použit v jej ich textu
[13]. Zde užitému „adaptačnímu" parametru p „vážícímu" datovou informaci jednak
z aktuálního (u verze B) resp. minulého (u verze A) pozorování vůči předchozí „diferenční"
informaci, jíž je rozdíl dvou předchozích členů, byla přisouzena váha 0,8 (tj. ve shodě
s hodnotou uplatněnou oběma britskými autory). Mnou užité „robustní" metody byly
založeny na jednoduchých vyrovnávacích předpisech:
U robustní metody A: yt = yt_j + A.(yt_j -yt_2)
U robustní metody B: yt = yt + A *. (yt_j - yt_2), s predikcemi:
yt+h = yt+h-i + A* -(yt+h-i - yt+h-2)
Ve výpočtech j sem užila parametrická dosazení A = A* = 0,8
Pro třetí skupinu (Box-Jenkinsových A R M A či ARIMA) metod přicházelo v úvahu dvojí
možné nasazení: buď užít řadu v původních hodnotách, ale odseparovat zní viditelný
deterministický trend proložením adekvátní trendovou křivkou anebo užít jemnější
(obvyklejší, ale ne vždy plně adekvátní) analytický postup převedením na
zestacionarizovanou řadu diferencí a následně na tuto řadu diferencí nasadit klasickou A R M A
analýzu. Do srovnání j sem zahrnula oba postupy s tím, že v prvém případě byla pro eliminaci
deterministického trendu užita bikvadratická polynomiální křivka. V případě druhé možnosti
se ukázalo, že přítomnost stochastického trendu v časové řadě neprevažuje, přičemž postačilo
66
první diferencování k získání dostatečně stacionárního procesu, následně analyzovaného
ARMA-metodami. Nezřídka se bohužel přitom stalo, že výpočet modelu (iterační numerickou
metodou) selhal, což je komentováno informací „nespočteno" ve výsledných tabulkách.
Pokud by bylo primárním cílem naší analýzy dosáhnout optimální specifikace AR(I)MAmodelu,
museli bychom se nejspíše uchýlit k j inému software, než gretl, jehož operační
nástroje (jako pro prostou, tak pro podmíněnou maximální věrohodnost) užívají zpravidla
Kalmanův filtr nebo BHHH (Berndt, Hall, Hall, Hausman) metodu. Ani tak by ale dosažení
„jistého" výsledku (získaných odhady AR- a M A - modelových parametrů a následných
predikcí) numerickými optimalizacemi nebylo s ohledem na silnou nemonotónnost či
nepravidelnost procesu u všech užilých empirických ukazatelů zaručeno.
Pokud jde o soubor kritérií, kterými je vhodné a účelné hodnotit jednotlivé analytickopredikční
výstupy, zvolila jsem trojici těch, které jsou uvedeny v textu Raye Faira. Ani ne tak
z důvodu, že jde o volbu navrženou renomovaným ekonometrem, jako proto, že uvedená tři vzájemně
nezastupitelná - kritéria lze považovat za opravdu fundamentální. K nim jsem
připojila dvě další: AMAPE upravenou (spíše lépe „neutrální") střední procentuální predikční
chybu a „koeficient determinace". Uvozovky pro R2
zde užívám proto, že o plnohodnotný
koeficient determinace jde jen v případě regrese pomocí trendových křivek, zatímco u
adaptivních metod lze přirozeně též zkonstruovat charakteristiku R2
coby doplněk podílu
součtu čtverců reziduí a součtu čtverců pozorovaných hodnot do 1, ale tato charakteristika v
těchto adaptivních, neregresních postupech nemá statistické vlastnosti klasického koeficientu
determinace (a nemůže být např. standardními postupy testována). U ARMA, ARTMA
postupů tato charakteristika není uvedena, protože výstup z gretlu ji neobsahuje.
Konečně poslední poznámka se vztahuje k „aktivně vzaté" délce datového vzorku: Abychom
dospěli k maximální možné objektivitě srovnání, byly všechny uvedené charakteristiky
spočteny za období 1Q2000 - 4Q2014 (tj. s vynecháním prvních čtyř hodnot odpovídajících
roku 1999), protože „náběh" do algoritmů adaptivních metod a částečně i u ARIMA-procesů
(délka zde závisí na maximálním zpoždění užilým v modelu) vyžaduje zahájení výpočtu
několika počátečních hodnot „improvizovaným způsobem", zpravidla doporučovaným,
nikoliv závazným, přičemž vynechání tří-čtyř prvních hodnot nemá zpravidla žádný vliv na
chování vyrovnávajícího algoritmu v pozdějších časových obdobích. U užilých ukazatelů je
ostatně i tak „zbývající" délka období zahrnující 60 čtvrtletních hodnot plně postačující jak u
67
metod adaptivního vyrovnávání, tak pro plnohodnotné nasazení aparátu Box-Jenkinsových
metod.
Graf č. 4.1.1: Pozorovaná data pro export ČR celkem, import ČR celkem, export
z Německa a import do Německa
1,000,000 -i
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
C T i c r i O ^ H i N i N r o ^ f L n L n u D i ^ o o o o c n o ^ H ^ H i N r o ^ f ^ f
c n c r i o o o o o o o o o o o o o < - H < - H < - H < - H < - H < - H < H
CTlCTlOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
* - H * - H < N < N < N < N < N < N < N < N < N < N < N < N < N < N < N < N < N < N < N < N
Zdroj: Vlastní tvorba, pramen CSU
4.2 Individuální predikce exportu-importu 2009
V tomto oddíle se budu věnovat komentáři k výsledkům vyrovnání a z nich vyplývajících
predikcí provedených na základě analýzy individuálních časových řad ukazatelů importu a
exportu. Tabulka v příloze č. 4.1 a 4.2 udává přehled spočtených výsledků pomocí klasických
vyrovnávacích a následně predikčních metod s hodnotami kritérii kvality retrospektivního
vyrovnání a predikcí na 4 následující čtvrtletí roku 2009.
4.2.1 Vyrovnání a predikce na rok 2009 ukazatele Import z Německa.
V případě polynomiálních trendů je patrné, že se (zákonitě) srůstem nejvyššího stupně
vyrovnávajícího polynomu monotónně zlepšují charakteristiky RMSE, MAE, AMAPE a R2
;
jen u Theilova koeficientu je tato monotonie nepatrně porušena u polynomů 4. a 5. stupně.
Pokud jde o predikce vypočtené pomocí těchto trendových křivek, ukazuje se (celkem
68
vsouladu s očekáváním), že srůstem nejvyššího stupně vyrovnávajícího polynomu jsou
předpovědi (dokonce jen na 1 rok) stále více a více nerealistické, a to nejenže s každým
dalším čtvrtletím podhodnocují realitu více a více, ale dokonce u polynomu 8. stupně se
dostávají po 3. čtvrtletích již do záporných hodnot ukazatele.
V případě Brownova exponenciálního vyrovnávání se (dle očekávání) retrospektivně lépe
chová jeho double verze (dvojité), oproti simple verzi (jednoduché), což je patrné na
lepších=nižších hodnotách kritérií RMSE, MAE, MAPE a také Theilova koeficientu
(posuzováno při stejné hodnotě vyrovnávací konstanty (X). U kritéria i?2
, které ale zde nemůže
být interpretováno a testováno jako klasický koeficient determinace, toto neplatí.
Pokud jde o predikce vypočtené pomocí Brownova exponenciálního vyrovnávání, neplatí zde
obvyklá zákonitost, kdy jeho dvojitá verze dává všeobecně lepší výsledky než jednoduchá
verze. Důvodem tohoto je velmi pravděpodobně okolnost, že jednoduchá verze (s
konstantními hodnotami predikcí) drží předpovídané hodnoty níže (a zpravidla blíže ke
skutečným) právě v případě, kdy hodnoty vyrovnávaného ekonomického ukazatele vykazují
stagnaci nebo pokles, což je právě případ roku 2009. Jinak zde zaznamenáváme obecně
známý fakt, že se s rostoucí hodnotou vyrovnávací konstanty (z 0,1 přes 0,2 na 0,3) kvalita
vyrovnání zlepšuje, což ale už nemusí být obecně pravdou pro věrohodnost predikovaných
hodnot. Pokud porovnáme přesnostex post predikcí, pak se u dvojitého Brownova
exponenciálního vyrovnání nejlépe uplatnilo vyrovnání s a = 0,3, avšak u jednoduchého
naopak vyrovnání s hodnotou a = 0,1.
Z šestice výpočtů provedených pomocí Holtovy a Holtovy-Wintersovy metody (v tomto
druhém případě na sezónně neočistených datech) vyšly jednoznačně a ve všech kritériích
nejlépe výsledky získané Holtovou-Wintersovou metodou s volbami parametrů
a = 0,4, y = 0,1, ô = 0,4, což mj. mluví ve prospěch známého doporučení o právě této volbě
parametrů metody. Tato výpočetní varianta poskytla vůbec nejlepší retrospektivní výsledky i
v porovnání s trendovým vyrovnáním a exponenciálním vyrovnáváním (při námi zadaných
parametrech metod); možná překvapivě toto už ale nelze říci o přesnosti poskytnutých
předpovědí, kdy jí dané predikce silně nadhodnocovaly skutečnost až o 21- 31%, přičemž u
výpočtů s jinými parametrickými hodnotami byly diskrepance ještě vyšší. V tomto směru se
lépe uplatnila již zmíněná varianta dvojitého exponenciálního vyrovnání při a = 0,3, u které
69
s výjimkou údaje pro 1. čtvrtletí 2009 nadhodnocovaly predikce skutečnost „jen" o 13 až 16
procent. Z předchozího je vidět, že ani jinak úspěšné „adaptivní" metody nereagovaly
dostatečně pružně na silný pokles dovozu zboží a služeb z Německa počátkem roku 2009.
Konečně stojí za povšimnutí, že v případě sledovaného importního ukazatele nebyly výsledky
získané gretlem pomocí A R M A resp. ARXMA náhodných procesů nějak výrazně lepší než
pomocí „prostších" předpovědních metod. Ponecháme-li stranou fakt, že ve dvou posledních
případech algoritmus užitý v gretlu parametry modelů ARIMA(2,1,1) a ARIMA(2,1,2)
nespočítal, pak z šestice spočtených zbývajících výsledků (s celkem příznivými hodnotami
Theilova koeficientu nesouladu, ale s ne vždy srovnatelně dobrými hodnotami ostatních
kritérií), spadly - po únosné hodnotě predikce pro 1. čtvrtletí 2009 - další predikované
hodnoty již do nepřiměřeně nízkých hodnot pro následující tři čtvrtletí.
Z hlediska retrospektivního vyrovnání se relativně nejlépe uplatnil stochastický model
ARMA(2,2) po předchozí stacionarizaci časové řady pomocí bikvadratického trendu
s nej nižšími hodnotami všech vyčíslováných kritérií (a zvláště s velmi přijatelnou hodnotou
0,667 Theilova koeficientu nesouladu). U predikcí tomu bylo zřetelně hůře, kdy tento model
poskytl vcelku dobrou předpověď j en pro 1. čtvrtletí 2009 s chybou (nadhodnocením) „jen"
něco přes 8 procent. Pro zbývající tři čtvrtletí 2009 byly relativně nej přesnější předpovědi
dané modelem ARMA(1,1), u kterého pro 2. čtvrtletí činila odchylka od skutečnosti jen
0,63%. Prudký pokles na počátku roku 2009 byl vůbec nejlépe vystižen modely
ARIMA( 1,1,1) a ARIMA(2,1,0) s odchylkami pouhých 1,5 promile resp. 2,8%, aby však
následně hned poté v dalších čtvrtletích předpovědi sklouzly do zcela nepřijatelně nízkých
hodnot.
I když lze těžko mluvit o celkovém „vítězi" při posuzování retrospektivního a predikčního
vystižení chování ukazatele (metoda úspěšná z prvního hlediska se ukázala zpravidla jako
neupotřebitelná pro druhý účel a naopak), přesto lze za relativně nejužitečnější pokládat
Wintersovu metodu s doporučovanými „tradičními" dosazeními jejich parametrů.
Naznačovalo by to mj., že nestacionářita ukazatele má spíše deterministický než stochastický
charakter; čemuž by odpovídala i většina provedených (byť ne systematicky prováděných)
výsledků testů jednotkového kořene. Původní časová řada při Dickey-Fullerově testu se
zařazením konstanty a lineárního trendu nevykazovala nijak přesvědčivé známky vnitřní
stochastické nestacionarity.
70
Možná trochu překvapivě, poněvadž jejich algoritmus byl navržen právě pro co nej pružnější
adaptaci na měnící se chování sledovaného ukazatele, se neprojevily jako přesvědčivě nejlepší
obě verze robustní metody. Z obou zvolených byla dle všech kritérií lepší verze B, avšak také
u ní došlo po výborném vystižení poklesu v 1. čtvrtletí 2009 s odchylkou jen 1,5 % k
„přeadaptování se" směrem k silnému jednorázovému poklesu, takže následné 3 čtvrtletní
predikce byly již výrazně podhodnoceny.
Pro ukázku zde uvádím vybrané grafy těchto výpočtů.
Graf č. 4.2.1: Import z BRD - Model ARMA(1,1)
180000
170000
160000
150000
140000
130000
120000
110000
100000
90000
BRDimport
předpověď
95 procentní interval <—96
2005 2006 2007 2008 2009
Zdroj: Vlastní tvorba
71
Graf č. 4.2.2: Import z BRD - model ARIMA (2,1,0)
BRDimport
předpověď
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
1
2005 2006 2007 2008 2009
Zdroj: Vlastní tvorba
Graf č. 4.2.3: Import z BRD - vyrovnání polynomem 4.st.
180000
160000
140000
120000
100000
80000
60000
BRDimport
předpověď
95 procentní interval
2005 2006 2007 2008 2009
Zdroj: Vlastní tvorba
72
Graf č. 4.2.4. Import z BRD - Holtova metoda a = 0,4 a y = 0,1
250000
200000
150000
100000
50000
•Předpovědi
•Import z BRD
n i i i n i i i i i i i i i i
m
i i i
a aCT> CT>
CT> CTl
CD CTl
m t - i m < - i m * - i m , - i m -
aaaaaaaaaaa
O < - H < - H < N < N C 0 r 0 ' 3 - » í
o o o o o o o o o
o o o o o o o o o
m
aU1 U1 ID kD
O O O O
o o o o
Ö Ö
r» r--
o o
o o
i i i i i i i i i
h m h m
a a a a
00 00CtiCTi
O O O O
O O O O
Zdroj: Vlastní tvorba
Graf č. 4.2.5: Import z BRD - Wintersova metoda a = 0,4 a y = 0,1 Ö = 0,4
250000
200000
150000
100000
50000
•Předpovědi
•Import z BRD
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
*—i m *—i co T—i co *—i ro *—i T—i m
d c i ö ö c i ö ö ö ö c i ö ö
CTlCTlOO<-H<-H<N<Nmm"3-^-
CTlCTlOOOOOOOOOO
CTlCTlOOOOOOOOOO
H H r \ i N r \ i N N N N N r \ l r \ i N r \ i ( N i N r \ i r \ | f \ i r \ i ( N l N
<H m i n m
a a a a
LT) LT) U3 ID
m
a
o
o
a
m
Ö Ö00 00CTiCTi
O O O O
O O O O
Zdroj: Vlastní tvorba
73
Graf. č. 4.2.7: Import z BRD - jednoduché exponenciální vyrovnávání a = 0,2
250000
200000
150000
100000
50000
•Předpovědi
•Import z BRD
rH CO
a a
CTI CTI
CTI CTI
CTI CTI
I I I I
rH CO
a a
o o
o o
o o
I I I I I I I I I I I I I I I I
ro
a
O
o
I I I I I I I I I I I
rH ro <H ro
es a a a
(N (N m m
o o o
o o o
m
Ö
o
o
ro
a
ro
Ö Ö
LT) LTI ID ID
O O O O
O O O O
ro
a
ro
Ö Ö
00 00CTICTI
O O O O
O O O O
Zdroj: Vlastní tvorba
Graf. č. 4.2.8: Import z BRD - dvojité exponenciální vyrovnávání a = 0,2
250000
200000
150000
100000
50000
•Předpovědi
•Import z BRD
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
Í~H ro T~H ro T~H ro T~H ro T~H ro T~H ro T~H ro T~H ro T~H ro T~H ro T~H ro
Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö
CTiCTiOO^H^Hr^(Nroro^f^fLnLnuDiDr--r--oooOCTiCTi
CTlCTlOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
CTlCTlOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
H H N I N N I N I N I N I N I N I N I N N I N I N I N I N I N I N I N I N I N
Zdroj: Vlastní tvorba
74
4.2.2 Vyrovnání a predikce na rok 2009 ukazatele Export do Německa.
Hodnoty predikcí určených prolongací použitých čtyř trendových křivek se ukázaly (trochu
překvapivě) docela úspěšné u polynomů 4. a 5. stupně v prvních dvou čtvrtletích roku 2009.
Odchylky od skutečnosti se u polynomu 5. stupně pohybovaly až do 3. čtvrtletí jen v rozmezí
+-2,5 % od skutečnosti, teprve v posledním čtvrtletí se odchýlení výrazně zvětšilo, u
polynomů dvou vyšších stupňů se výrazné odchýlení projevilo už dříve a - stejně jako u
importu do BRD - u polynomu 8. stupně spadla predikce pro 4.čtvrtletí dokonce do záporu.
Hodnoty charakteristik retrospektivního vyrovnání zaznamenaly očekávaný vývoj: srůstem
stupně prokládaného polynomu hodnoty RMSE, M A E , AMAPE i Theilova koeficientu
nesouladu monotónně klesaly, zatímco koeficient determinace se zvětšoval z 0,938 na 0,965.
Ve srovnání s adaptivními postupy nabyly však tyto charakteristiky obecně méně příznivých
hodnot až na Theilův koeficient, který se udržel hodnotami pod 1%.
Zajímavý, i když ne nečekaný úkaz, se objevil u predikcí provedené jednoduchým
Brownovým exponenciálním vyrovnáním: Přestože charakteristiky vyrovnání byly poměrně
slabé a i v porovnání s pasivním prokládáním časové řady trendovými křivkami zpravidla
horší, vyzněly predikované hodnoty (dle predikčního pravidla u této metody konstantní) velmi
dobře. Důvod je zřejmý a spočívá ve stagnaci vývoje exportu po celý rok 2009, takže
konstantní předpověď byla docela na místě. Dokonce i jindy téměř nepoužitelná verze s a =
0,1 tentokrát poskytla 4 predikce, které se lišily od skutečnosti o méně než 1,5%, tedy dosáhlo
se lepší předpovědi, než u většiny uplatněných daleko sofistikovanějších postupů. U dvojitého
exponenciálního vyrovnání byly predikované hodnoty daleko méně zdařilé a i u relativně
nejlepší specifikace s a = 0,3 neklesly pod 5%. Retrospektivní vyrovnání dopadlo (při celkem
ustáleném růstovém vývoji exportu před rokem 2008) podstatně lépe, a v nejlepší verzi
dvojitého s a = 0,3 kleslo AMAPE kritérium pod 2,4, tedy výrazně níže než u trendů a
dokonce i ARIMA procesů. Jinak kriteriální hodnoty zaznamenaly pozitivní vývoj s růstem
hodnoty vyrovnávací konstanty z 0,1 přes 0,2 k hodnotě 0,3.
Jako zřetelně nejlepší retrospektivně vyrovnávající metoda se projevila Holtova-Wintersova
při standardní parametrické volbě, kde kritéria kvality vyrovnání nabyla nej lepších hodnot (a
zřetelně překonala i těsnosti vyrovnání provedené pomocí ARMA-ARIMA postupů.
S výjimkou Theilova koeficientu dosáhla zde všechna ostatní kritéria svých nejlepších
75
hodnot: M A E = 2203, RMSE = 2809, AMAPE=1,508 a analogie veličiny R2
0,995. U jiných
parametrických voleb Holtovy i Wintersovy metody byly již charakteristiky vyrovnání
zřetelně horší: pro porovnání u nej horší Holtovy s volboua = 0,3, gama = 0,2: M A E = 2702,
RMSE = 6233, AMAPE=2,641 a analogie R2 0,995. Jakkoliv velmi uspokojivé výsledky
retrospektivního vyrovnání se neprojevily zdaleka stejně pozitivně pro predikce. Dokonce i u
zmíněné „optimální" verze Wintersovy metody činily odchylky předpovídaných od
skutečných hodnot ve všech čtvrtletích nejméně 10% (predikce vesměs nadhodnocovaly
skutečnost); pro jiné parametrické volby byly diference ještě větší, i když až na dvě výjimky nepřesáhly
16%
Hodnocení příznivosti výsledků dosažených kombinovanými A R M A resp. ARIMA postupy
je negativně dotčeno okolností, že gretlovské software ve 3 z 8 případů hodnoty parametrů
vůbec nespočetlo. Ze zbývajících 5 variant se nejlépe projevilo vystižení modelem
ARIMA(2,2) po předchozí stacionarizaci deterministickým trendem, u něhož M A E = 5601,
RMSE = 7251, AMAPE = 3,973. Jak patrno, kvalita vyrovnání ani zdaleka nedosáhla úrovně,
kterou poskytly jednodušší adaptivní postupy. V ostatních výpočetních variantách bylo
dosaženo o něco (ne však o mnoho) horších hodnot.
U předpovědí poskytnutých ARMA/ARIMA modely lze zaznamenat poměrně velkou shodu
v prvních dvou čtvrtletích, přičemž dále se jednotlivé předpovědi vzájemně více a více
rozcházely a o to více se rozcházely se skutečností, takže predikce pro 4.čtvrtletí se odchýlily
od skutečnosti (podhodnocením) již o více než 25%, zatímco u prvního čtvrtletí představovalo
podhodnocení vesměs ne více než 5%.
Souhrnně lze konstatovat, že při vystižení a zejména při krátkodobých predikcích tohoto
ukazatele se jinak sofistikované stochastické modely zdaleka nevyrovnaly úspěšnosti
vystižení reálného vývoje celkem jednoduchým (a často přehlíženým) adaptivním postupům.
76
Graf: 4.2.9: Export z BRD - ARMA(1,1)
200000
190000
180000
170000
160000
150000
140000
130000
120000
110000
2005 2006 2007 2008 2009
Zdroj: Vlastní tvorba
Graf č. 4.2.10: Export BRD - model ARIMA (2,1,0)
200000
180000
160000
140000
120000
100000
80000
2005 2005 2007 2008 2009
Zdroj: Vlastní tvorba
11
Graf č. 4.2.11: Export BRD - vyrovnání polynomem 4.st.
210000
200000
190000
180000
170000
160000
150000 h
140000
130000
120000
110000 h
100000
BRDexpart
předpověď
95 procentní interval
2005 2006 2007 2008 2009
Zdroj: Vlastní tvorba
Graf. č. 4.2.12 Export z BRD - jednoduché exponenciální vyrovnávání a = 0,2
250000
200000
150000
100000
50000
•Předpovědi
•Export z BRD
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
rH CO
a a
CTI CTI
CTI CTI
CTI CTI
m
a
O
O
O
m
a
O
o
rH m <H m
a a a a
(N (N m m
m
a
oo
rH m <H m
cs a a a
LTI LTI ID ID
rH m <H
cs a a
00 00 CTI
~ O ~
O
oo
m
Ö
CTi
O
OH H I N I N N I N N I N I N I N I N N I N N I N N I N N I N I N I N I N
Zdroj: Vlastní tvorba
78
Graf č. 4.2.13: Export z BRD - Wintersova metoda a = 0,4 a y = 0,1 ô = 0,4
250000
200000
150000
100000
50000
•Předpovědi
•Export z BRD
i i i
a ö
cn CT>
CTI CT)
CT) CT)
n i i i i i r
m
i i i i i i i p
h m h m
a a a a
n n m m *
o o o o o o o
" o o o o
H I I I I P I I I I I I
aa a a a
O <H
O o .
o o o o o
<H m
Ö Ö Ö
LD i n ID
o o -
o
er cr cr a a a ä
o
o
IV ľ". CO 00CT)CT)
o o o o o o
o o o oriHfM(MNN(N(N(NfMNCMrM(N(NNINrMINfMNrM
Zdroj: Vlastní tvorba
Graf č. 4.2.14: Export z BRD - Holtova metoda a = 0,4 a y = 0,1
250000
200000
150000
100000
50000
•Předpovědi
•Export z BRD
i i i
rH OD
a aCT) CT)CT) CT)CT) CT)
I I I I I I I I I "I-
m
Ö
o
o
o
a*—i
o
o
I I I I I I I I
no*n m *H ro <H ro
c r a ö ö c f a c f ö ö
t M o í m m ^ ^ t i n i / i i í
o o o o o o o o o
~ o o o o o o o o
m h m h m
a a a a a
n- 00 00CT)CT)
o o o o o
o o o o o
r s l f N I ( N í N r s l r N I ( N ( N f N ( N r N I ( N ( N í N ( N r N I Í N ( N í N ( N
Zdroj: Vlastní tvorba
79
Graf. č. 4.2.15: Export z BRD - dvojité exponenciální vyrovnávání a = 0,2
250000
200000
150000
100000
50000
•Předpovědi
•Export z BRD
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
H m H B i r i m r i m r i m H B í H B i H m H m H m H m
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
OimOOHHN(MfO(í|<t<tmUllI)lI)NNeOM01(Il
CTlCTlOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
CTlCTlOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
H H ( N f N ( N ( N ( N ( N f v | ( N f v | ( N ( N f N ( N ( N ( N f N ( N f N ( N ( N
Zdroj: Vlastní tvorba
V dalších přílohách můžeme najít výpočty pro ukazatele pro rok 2009 viz. příloha č. 4.3 - 4.7
a pro rok 2015:viz.příloha č. 4.8. - 4.14. Jelikož jsem se v práci zaměřila především na import
z Německa do ČR a export do Německa z ČR a význam hodnot lze odvodit z výše
vysvětlených tabulek, nebudu již tyto tabulky blíže popisovat z důvodu omezení obsahu
práce.
80
5 REGRESNÍ MODELY EXPORTU-IMPORTU
Druhým základním postupem, kterým jsem přistoupila k vyhodnocení úspěšnosti minulého
vývoje a k ex-post vyhodnocení přesnosti předpovědí, jsou klasické regresní modely.
Ústředním předmětem mého zájmu byly ukazatele českého exportu do Německa a českého
importu z Německa, takže jsem tyto dva dílčí ukazatele zahraničního obchodu vzala jako
endogenní proměnné dvou regresních rovnic. K nim jsem následně přiřadila trojici domněle
vysvětlujících (exogenních) proměnných. K rovnici pro import jsem zvolila trojici
dostupných ekonomických indikátorů, a to: ImportdoCRcelkem, kurs Euro/Kč a indikátor
spotřebního chování české populace, tedy ukazatel spotřebaČR, který by mohl potenciálně
vysvětlovat intenzitu nákupů obyvatelstva ČR také mj. po zboží importovanému ze Spolkové
republiky Německo. V případě exportu jsem srovnatelně použila také tři potenciálně
vysvětlující proměnné, jmenovitě ExportzCR celkem, opět kursEuro/KčN datech
zveřejněných Bundes bank (dostupné z http://www.bundesbank.de/SiteGlobals/
Forms/Statistik) jsem také nalezla ukazatel informující o vývoji nákupního chování obyvatel
v Německu, zde označený consumBRD, který by mohl mít (třeba zprostředkovaně) vztah
k poptávce Němců (spotřebitelů i firem) po zboží z České republiky, i když bude
pravděpodobně ovlivňovat intenzitu českého vývozu méně než recipročně český import s
ohledem na zajisté silnější vliv domácí poptávky - po německém zboží. Ukazatel je
vyjádřený v mil. Euro, což není nijak na závadu jeho zařazení do regresní rovnice, zvláště
tehdy, je-li tam společně s ním indikátor průběžně se měnícího kursu mezi českou korunou a
eurem. Všechny tyto ukazatele byly dostupné ve čtvrtletních časových řadách (nejméně) od
počátku roku 1999 až do konce r. 2014. Vzhledem k primárnímu účelu výzkumu jsem do
regrese (k ex post predikci hodnot roku 2009) zařadila údaje o exogenních proměnných do
4Q2014; k vyhodnocení jejich přesnosti jsem pak porovnávala takto spočtené predpovední
hodnoty pro rok 2009 se skutečnými hodnotami obou endogenních proměnných za jednotlivá
čtvrtletí roku 2009.
Formulovala jsem tedy dvojici regresních rovnic v těchto specifikacích
LINREG1I
Im portzBRDt = fí0 + fíj Im portdoČRce lkemt + '2kursEuroKčt + P3spotrebaČRt + £tj
a
81
LINREG1E
ExportdoBRDt = y0 + yjExportzČRcelkemt + y2kursEuroKč t + y3spotrebaBRDt +r/t] .
V obou případech j sou pravé strany rovnic doplněny o náhodné složky £v,rjv s předpokladem
o nulovosti jejich středních hodnot, homoskedasticity, vzájemné nekorelovanosti v čase a
nekorelovanosti s trojicí exogénnich proměnných. Provedené testy těchto předpokladů
neindikovaly zásadní porušení těchto předpokladů, s výjimkou mírného narušení předpokladu
o neautokorelovanosti náhodných složek, takže jsem pak ve výpočtech uplatnila kromě
tradiční metody nejmenších čtverců OLS také estimační variantu využívající CochranOrcuttovu
proceduru eliminující případnou autokorelaci reziduí.
V následných výpočtech provedených standardním ekonometrickým software gretl jsem
každou z obou těchto základních rovnic pro dovoz a vývoz zboží z/do Německa spočetla vždy
ve čtyřech verzích, kdy jsem jednak použila výchozí lineární a následně dvoj logaritmickou
(tj.mocninnou) specifikaci. Data nebyla pro tento účel překážkou, neboť se v nich nevyskytla
žádná záporná hodnota. Výpočty jsem provedla rovněž ve zkrácené specifikaci, pouze se
dvěma exogenními proměnnými, kdy jsem vynechala ukazatele spotřeb, které se v průměru
ukázaly být méně signifikantními než zbývající dvě proměnné. Tímto došlo sice nejspíše
k porušení (původně) správné regresní specifikace, pohled na rozdílnost výsledků pak ale
umožnil posoudit, do jaké míry má toto porušení vliv na zkreslení predikcí a tedy na velikost
případného predikčního selhání.
Tvary těchto variantních specifikací tedy byly:
L0GREG2I:
InlmportzBRDt = J3Q + j3j InlmportdoCRcelkemt + j32 InkursEuroKčt + {3$ InspotrebaCRt + £f2
LINREG3I: Im portzBRDt = J3g + J3j Im portdoČRcelkemt + j32kursEuroKčt + £t$
L0GREG4I: Inlm portzBRDt = J3Q + f3j Inlm portdoCRcelkemt + j52 In kursEuroKčt +£(4
a analogicky pro export:
L0GREG2E:
In ExportdoBRDt = yQ + yj In ExportzCRcelkemt + y2 In kursEroKčt + y$ In spotrebaBRDt + rjt2
82
LINREG3E: ExportdoBRDt = Yo + YjExportzCRcelkemt + f2kursEuroKčt +7]tj
L0GREG4E: InExportdoBRDt = /o + ľl InExportzCRcelkemt + y2 InkursEuroKčt +T]t^ .
Každá z uvedených specifikací byla spočtena - jak jsem výše uvedla - oběma odhadovými
metodami, takže příslušná tabulka v příloze č. 5.1 Regresní model Import do BRD a č.5.2
Regresní model ExportdoBRD obsahuje pro oba ukazatele celkem 8 variantních výsledků
(řádků).
Pro vyhodnocení kvality zpětného vyrovnání jsem uplatnila tatáž kritéria jako předtím u
vyšetřování míry shody vyrovnání individuální predikcí časové řady (viz kapitola 4.2) a
následně jako u VAR-modelů(viz kapitola 6.1), aby bylo tímto dosaženo maximální
objektivity ve srovnatelnosti výsledků ex post i ex ante. Jedná se o kritéria MAE,
RMSE,AMAPE, adjustovaný koeficient determinace i?*2
a Theilův koeficient nesouladu.
5.1 Vyhodnocení predikcí regresních modelů exportu-importu do
BRD 2009
Podíváme-li na výstupní informace ze všech (2x8) regresních modelů, které přehledně
shrnuje tabulka v příloze 5.1 a 5.2, můžeme vyslovit několik vcelku předpokládaných závěrů,
ale i některá méně očekávaná zjištění:
Věnujme se nejprve výstupním hodnotám vyjadřujícím výsledky kvantifikace regresních
modelů vývozu a posouzení jejich predikční úspěšnosti:
Pokud jde o výstižnost jednotlivých modelových specifikací, lze uvést, že relativně nejlépe se
projevila základní modelová specifikace LINREG1I, která představuje poměrně dobrý základ
úspěšné regresní kvantifikace, i když některá zjištění plně uspokojivá nejsou. Statistická
významnost proměnných kursEuro/Kč a spotřebaBRD leží pod prahovými hodnotami i na
mírné hladině a = 0,1. K vystižení závisle proměnné tedy přispívá rozhodující měrou celkový
export, u ostatních specifikací tomu tak je zpravidla ještě ve větší míře. Vliv celkového
exportu je přirozeně kladný neboť vývoz do Německa je podstatnou součástí celkového
exportu z ČR, u ostatních proměnných nelze znaménka pro nesignifikanci hodnotit.
Poznamenejme v této souvislosti, že když byl model spočten ve stejných specifikacích přes
celý datový vzorek 1999-2014, byly všechny regresní koeficienty u všech 8 regresních
83
specifikací signifikantní vždy aspoň na hladině a = 0,05 ,ale u převážné většiny případů i na
hladině a = 0,01. (Abstrahujeme od úrovňové konstanty, jejíž hodnota není v daném případě
časových řad rozumně interpretovatelná). Všechny tři regresní koeficienty zde měly
očekávaná znaménka: koeficient y\ kladný, koeficienty u ukazatele měnový kurs (v
obvyklém podílovém vyjádření Euro/Kč) byl rovněž kladný (levnější Euro vůči koruně je
podnětem ke zvýšení importu z ČR do kterékoliv země využívající Euro jako svou měnu) a
kladný byl rovněž koeficienty udávající (lépe nebo hůře) vývoj kupní síly německých
spotřebitelů. V tomto směru mělo tedy zkrácení vzorku negativní dopad, i když - jak bude
dále zmíněno - následné predikce exportu dopadly poměrně zdařile.
Ve vzájemném porovnání je patrná nezvykle blízká těsnost vystižení dat jednotlivými
regresními specifikacemi. V adjustovaných koeficientech determinace R*2
se jednotlivé
modely liší nejvýš o tisíciny, přece jen „o něco lépe než jiné" vyznívá výsledek první
specifikace LrNREGlIs minimálními hodnotami M A E , AMAPE i Theilova koeficientu, i
když v případě R*2
s hodnotou 0,962 ho jiné specifikace nepatrně převyšují.
Indikátory autokorelace reziduí, Durbin-Watsonovy koeficienty, mají vesměs uspokojivé
hodnoty i při kvantifikaci původně užitou metodou OLS (1,6 - 2,0), další „vylepšení" je
získáno aplikací Cochran-Orcuttovy estimační metody. Tou byly spočteny i modely v plné
délce 1999-2004, kdy byla OLS-rezidua místy citelně kladně autokorelováná (i s D-W pod
1,0) a kde bylo nasazení C-0 procedury nezbytné. Aplikace Cochran-Orcuttovy zde zpravidla
nijak nevylepšila hodnoty dalších kritérií: RMSE, M A E a reziduálni chyby (odlišně od
výsledků u modelů spočtených přes data 1999-2014, kde bylo snížení místy výrazné).
Ve srovnání se specifikací představovanou 1. řádkem tabulky v příloze 5.2 vyznívají ostatní
verze poněkud hůře, nelze přitom mluvit o tom, že by dvoj logaritmické specifikace byly
znatelně lepší či horší než lineární. Poznamenejme zde, že ty charakteristiky vyrovnání, které
jsou založeny na transformovaných hodnotách závisle proměnné (u dvoj logaritmických
specifikací) nemohou být srovnatelné v kritériích RMSE, M A E , reziduálních chyba a
AMAPE se specifikacemi, u nichž je závisle proměnná původní, mohou být ale porovnány ze
stejných hledisek mezi sebou navzájem.
Zaznamenejme ještě, že vynechání třetí proměnné spotřebaBRD, a tedy zkrácení původní
specifikace, vedlo u zbývajících dvou koeficientů k různé síle dopadu tohoto zkrácení:
84
koeficienty yl u celkového exportu se změnily jen nepatrně (znatelně ale posílila jejich
signifikance), zatímco u koeficientů měnového kursu f2by\ posun hodnot citelnější. I zde se
zvýšila signifikance, i když jen u LOGREG4 nad hladinu a = 0,05
Pokud jde o jednu z nej důležitějších informací tj. zhodnocení úspěšnosti ex post predikcí, pak
lze - na základě výše vysloveného - očekávat, že nejlepší vyrovnání - představované 1.
řádkem tabulkových hodnot - povede také knejlepším krátkodobým předpovědím. Tento
předpoklad se skutečně naplnil, což dokumentuje pohled na řádek predikčních chyb; ty se po
počátečním vychýlení v 1. a 2. čtvrtletí o 3% resp. 2% od skutečnosti (jejím podhodnocením)
vrátily k velmi přesným předpovědím, kdy odchylky od skutečnosti nepřesáhly zanedbatelnou
relativní hodnotu 1 promile. Lze současně konstatovat, že i u dalších specifikací byl
zaznamenán podobný úkaz, viz např. u modelů LTNREG3E nebo LINREG4E se tato tendence
projevila shodným způsobem, i když zde byly odchylky od skutečnosti poněkud větší. Je tedy
patrné, že jak regresní modely, tak dosazené hodnoty exogénnich proměnných roku 2009 byly
adekvátní pro získání dobrých předpovědí, i když většina z těchto předpovědí více či méně
skutečnost podhodnocovala.
Pro zachování objektivity posuzování je však potřebné dodat, že nej větší „zásluhu" na tomto
úspěšném výsledku má okolnost, že je v regresní rovnici přítomna exogénni proměnná
ExportzCRcelkem, jejíž průběh vletech 1999-2014 je - viz graf (4.1.1) - velmi podobný
průběhu té části exportu, která směřovala do Německa. Tak dobrého ex-post predikčního
výsledku se nepodařilo v žádném jiném případě dosáhnout, (ať už analýzou individuální
časové řady ukazatele nebo pomocí VAR-modelu).
Nyní přejdeme k analogickému posouzení úspěšnosti předpovědi pro IMPORTzBRD. Pohled
na tabulku v příloze 5.1 naznačuje, že také v tomto případě lze mluvit o celkově
uspokojivých, i když přece jen mírně horších ve srovnání s exportem, výsledcích jak
vyrovnání i predikce. Na výstupech ale zaznamenáme také některé odlišné rysy: Jedním
z nich je např. dopad nasazení Cochran-Orcuttovy procedury na „vylepšení" DurbinWatsonova
koeficientu: na rozdíl od „exportních" modelů zde ve 3 ze 4 případů dochází ke
snížení tohoto koeficientu, když původní hodnoty generované běžnou OLS regresí byly plně
uspokojivé, vesměs v blízkostí 2 indikující žádnou nebo neznatelnou neautokorelovanost
OL S-reziduí.
85
Také v tomto případě lze výsledky retrospektivního vyrovnání hodnotit mírně pozitivně,
přičemž se zdá, že dvoj logaritmické specifikace přinášejí souhrnné výsledky v hodnocení
shody modelu s daty téměř shodné se specifikacemi lineární (rozdíly jsou tak malé, že
obvykle nepřekračují indiferenční hladinu).
Za poměrně nejlepší z hlediska retrospektivního vystižení vývoje českého importu z Německa
lze - poněkud překvapivě- považovat redukovanou specifikaci (s vynecháním proměnné
consumBRD) představovanou dvěma posledními řádky tabulky. V tomto případě je
signifikance zbývajících dvou vysvětlujících proměnných nej výraznější, v obou případech se
u koeficientů fi2 pohybuje aspoň nad kritickou hodnotou normovaného normálního rozdělení
při a = 0,1; vesměs vysoké hodnoty t-statistik koeficientu^ (u proměnné
ImportdoČRcelkem) nformují o tom, jak těsná je souvislost celkového českého dovozu
s dovozem z Německa. Co ale zde překvapuje a bohužel mluví proti očekávání i ekonomické
teorii, je kladné znaménko koeficientu fi2 u proměnné kursEuro/Kč. To je kladné, což by
indikovalo posilování dovozu při znehodnocování koruny vůči euru. U jiných specifikací se
tento efekt neprojevil, takže lze soudit buď na náhodný úkaz, nebo na kombinovaný důsledek
neúplné specifikace při vynechání třetí proměnné. Diference v hodnotách R*2
nejsou příliš
významné: 0,941- 0,957, hodnoty ostatních kritérií mluví vesměs ve prospěch úplných
specifikací oproti redukovaným.
Pokud jde o předpovědi, ty jsou v porovnání s predikcemi exportu do Německa vesměs
výrazně horší pro 1. čtvrtletí 2009, u kterého jsou diskrepance všeobecně větší než 16,5%
s maximy až téměř 20%-ního nadhodnocení u LENIREG3I a LINREG4I Vzhledem k tomu, že
jednou z exogénnich proměnných je dovozdoCR jako celek, znamenalo by to pro toto čtvrtletí
indikaci zřetelného odklonu vývoje celkového dovozu od dovozu z Německa. V následných
dvou čtvrtletích se predikce postupně blíží realitě, přičemž lze zaznamenat, že u úplných
specifikací (se zahrnutím proměnné spotrebaCR) je přibližování znatelně rychlejší
(nadhodnocení o 2,5% -4,0%) než u úsporných specifikací bez této proměnné (nadhodnocení
o 5,0%-6,7%). V posledním čtvrtletí se predikce u úplných specifikací již téměř shodly
s realitou, zatímco u neúplných přetrvalo ještě citelné cca 4% nadhodnocení.
Za „celkově nejlepší" predikční variantu lze pokládat druhou verzi LINREG1I
(dvojlogaritmická úplná specifikace spočtená Cochran-Orcuttovou metodou), u které po
86
počátečním silném odklonu od reality s odchylkou až 16,7% byla následná 2 období
předpovězena poměrně přesně (kladné odchylky 1,9% resp. 2,5%) a poslední čtvrtletí 2009
(diference jen 1 promile) se prakticky shodlo se skutečností.
Jak je patrné z předchozího textu, v případě ukazatele IMPORTzBRD neplatí obvyklé
pravidlo, že nejlépe vyrovnávající modelová verze je zároveň i verzí generující nej přesnější
predikce
Pro názornost uvádím grafy modelů (graf. č. 4.3.1 - 4.3.12), kde jsem použila tři vysvětlující
proměnné včetně spotřeby ČR pro předpovědi Importu do BRD a spotřeby Německa pro
předpovědi Exportu z BRD.
Graf č. 4.3.1: model LINREG1I
180000
ImportzBRD
předpověď
170000
160000
150000
140000 -
130000 -
120000 -
110000
2005 2006 2007 2008 2009
Zdroj: Vlastní tvorba
87
Graf č. 4.3.2: model LINREGII Cochran-Orcutt
180000
170000
160000
150000 -
140000
130000
120000
Import*BRD
predpoveď95 procentní interval i )^ i
2005 2006 2007 2008 2009
Zdroj: Vlastní tvorba
Graf č. 4.3.3: model LOGREG2I
88
Zdroj: Vlastní tvorba
Graf č. 4.3.5: model LINREG1E
210000
190000 -
180000 -
170000 -
160000 -
150000 -
140000 1 1 1 1 1
2005 2006 2007 2008 2009
Zdroj: Vlastní tvorba
89
Graf č. 4.3.6: model LINREGIE Cochran-Orcutt
210000
200000
190000 -
180000 -
170000
160000
150000
ExportdoBRD -
predpoveď
95 procentní inteival X
140000
2005 2006 2007 2008 2009
Zdroj: Vlastní tvorba
Graf č. 4.3.7: model LOGREG2E
12.25
12.2
12.15
12.1
12.05
12
11.95
11.9
11.85
LExportdoBRD •
předpověď -
95 procentní interval 1
f
2005 200Ů 2007 2008 2009
Zdroj: Vlastní tvorba
90
Graf č. 4.3.8: model LOGREG2E Cochran-Orcutt
LExportdoBRD
předpověď
95 procentní inteival i X
2005 2006 2007 2008 2009
Zdroj: Vlastní tvorba
91
92
6 PREDIKCE ZKONSTRUOVANÉ VE VAR-MODELU
6.1 VAR modely exportu-importu
V této části diplomové práce uvádím specifikaci, charakteristiky kvality vyrovnání a predikce
provedené na základě V A R modelů (modelů vektorové autoregrese), které jsou sestaveny pro
2 endogenní proměnné ImportzBRD a ExportdoBRD a dále z pěti proměnných exogenních
(kursEUROKc, ImportCELKEM, ExportCELKEM, SpotrebaCR a ConsumBRD, obdobně jako
tomu bylo u predikčního schématu užitého v regresním přístupu. I když užitý analytickopredikční
nástroj - gretl - umožňuje specifikovat zpoždění endogenních proměnných až do
řádu 12-16, omezila jsem se při výpočtu a predikcích na zpoždění délek 1, 2, 3 a 4, neboť
pokusné výpočty se zpožděními vyšších řádů již neindikovaly dostatečnou signifikanci
vysvětlujících proměnných ve dvojici výsledných regresních rovnic.
Gretl poskytuje výstup VAR-modelu vždy ve sdružené sestavě dvou rovnic, pro každou
endogenní proměnnou zvlášť, přičemž každá rovnice obsahuje tytéž vysvětlující proměnné
(se stejnými hodnotami zpoždění u endogenních proměnných). Testuje se přitom - pomocí
jednoho z tzv. portmanteau testů - zda uvažovaná hodnota u zpoždění je dostatečná nebo zda
má být nahrazena obecnějším modelem se zpožděními o 1 řád vyššími. Pro výpočet predikcí
jsem použila stejný postup k určení předpovědí exogenních proměnných, jako tomu bylo u
regresního modelu, tzn. oba makroindikátory zahraničního obchodu ČR jsem předpovídala
pomocí aditivní verze Wintersovy vyrovnávací metody s obvyklou volbou parametrů
a = 0,4, y = 0,1, ô = 0,4 ; kurs EUR vůči Kč pomocí modelu ARMA(2,0) po stacionarizaci
bikvadratickým trendem, agregátní spotřebu České republiky pomocí modelu ARIMA
(2,1,2), zestacionarizovaného 1. diferencemi a agregátní spotřebu Německa opět pomocí
ARMA(2,0) procesu zestacionarizovaného bikvadratickým trendem. Při této volbě
předpovědí exogenních proměnných jsou výsledky jednotlivých V A R modelů srovnatelné
s výsledky získanými pomocí klasického (lineárního) regresního modelu (se stejnými
vysvětlujícími veličinami).
Výpočty VAR-modelu jsem prováděla variantně se třemi nebo s pěti exogenními
proměnnými. V prvém případě jsem použila všechny dostupné exogénni proměnné, ve
druhém byly z modelu vypuštěny indikátory spotřebitelské nálady v ČR i v Německu, tedy
SpotrebaCR a ConsumBRD, které vykazovaly vůbec obecně zřetelně nižší stupeň statistické
93
významnosti než 3 proměnné zbývající. VAR-modely s 3 exogenními proměnnými
vykazovaly zpravidla lepší výsledky než modely s 5 proměnnými. Pokud jde o zadanou délku
zpoždění u endogenních proměnných, omezila jsem se na maximální zpoždění délky 4
(čtvrtletí), neboť specifikace s většími hloubkami zpoždění (testovala jsem ještě zpoždění
délek 6, 8 a 10) se již zpravidla vyznačovaly zanedbatelnou signifikancí většiny modelových
proměnných, a to nejen zpožděných endogenních. Z údajů shrnuých v tabulce v příloze 6.2e
patrné, že modely se třemi exogenními proměnnými poskytly všeobecně lepší predikční
výsledky než modely s 5 exogenními proměnnými.
Kvalita vystižení dat modelem byla posuzována pomocí standardních 5 kritérií, pouze
v případě koeficientu determinace byla uplatněna jeho adjustovaná-korigovaná verze R*2
,
která, jak známo, zvýhodňuje specifikaci s menším počtem vysvětlujících proměnných.
Považuji to vdaném případě za opodstatněné, poněvadž se vyšetřované modely liší dosti
významně právě počtem zařazených exogenních proměnných s různou délkou časových
zpoždění.
6.2 Vyhodnocení predikcí VAR modelů exportu-importu do BRD
2015
Pro vysvětlení chováni endogenní proměnné IMPORTzBRD poskytl nej lepší výsledky, jak
vidíme v tabulce v příloze č. 6.1 model V A R (2,3,3), u kterého bylo dosaženo nejlepších
hodnot (i když u R*2
byly vzájemné rozdíly jen v tisícinách) charakteristiky MAE, AMAPE a
již zmíněný R* . Srovnatelně dobře se osvědčil také model V A R (2,2,3), u kterého nabyla
nej nižších hodnot kritéria RMSE a Theilův koeficient nesouladu a který lze takto považovat za
suboptimální specifikaci. Hodnoty koeficientu determinace byly u všech specifikací velmi
podobné a pohybovaly se v rozmezí 0,963 - 0,971. Všeobecně nejhorších kriteriálních hodnot
dosáhl nekomplikovanější model V A R (2,4,5) s kritériem AMAPE 2,44 a s Theilovým
koeficientem 1,368. Pokud jde o předpovídané hodnoty, jejich rozptyl při predikci na 4
čtvrtletí nebyl nijak velký; pohyboval se v rozmezí 223,7 - 228,8 mld Kč, takže na žádnou
z nich nelze pohlížet jako na extrémní.
Rovněž chování endogenní proměnné EXPORTdoBRD bylo nejlépe vystiženo modelem V A R
(2,3,3). V tomto případě byl tento model optimální z hlediska minimálních hodnot kritérií
MAE, AMAPE a Theilova koeficientu nesouladu. Minimální hodnoty RMSE bylo dosaženo u
94
nejjednodušší specifikaceVAR (2,1,3) a maximálního R* u modelu V A R (2,1,5):0,9884 nutno
ale dodat, že zde ale byly u všech specifikací hodnoty R*2
velmi blízké. Také zde
dosáhl všeobecně nejhorších kriteriálních hodnot nekomplikovanější model V A R (2,4,5)
s kritériem AMAPE přes 2 a s Theilovým koeficientem 1,368 (jediná specifikace s hodnotou
vyšší než 1). Rozptýlení předpovídaných hodnot bylo u proměnné EXPORTdoBRD znatelně
vyšší než u importního modelu. Zčásti je to dáno tím, že absolutní hodnoty exportu do
Německa r. 2014 se pohybují cca o 90 mld Kč výše než hodnoty importu, takže variační
rozpětí hodnot dosáhlo u nejvzdálenější predikce (na 4 čtvrtletí dopředu) 9 1/4 mld Kč (u
prvého modelu jen něco málo přes 5 mld Kč).
Graf č. 6.2.1: Import z BRD - VAR(2,4,5)
240000
220000
200000
180000
160000
140000
120000
ImportzBRD
předpověď
95 procentní interval '—^r
2003 2009 2010 2011 2012 2013 20H 2015
Zdroj: Vlastní práce
95
Graf. č. 6.2.2: Import z BRD - VAR(2,2,5)
240000
220000
200000
180000
160000
140000
120000
ImportzBRD
předpověď
95 procentní interval 1
X •'
2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
Zdroj: Vlastní práce
Graf. č. 6.2.3: Export do BRD - VAR(2,4,5)
340000
320000
300000
280000 -
ExportdoBRD
předpověď
95 procentní interval1
—^+ír
2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
Zdroj: Vlastní práce
96
Graf č. 6.2.4: Export do BRD - VAR(2,2,5)
2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
Zdroj: Vlastní práce
6.3 Vyhodnocení predikcí VAR modelů exportu-importu do BRD
2009
Zde se pokusíme o přehledové shrnutí přesnosti ex-post předpovědí vypočítaných pomocí
jednotlivých VAR-modelů pro rok 2009. Tyto předpovědi byly spočteny na základě
zkráceného datového vzorku obsahujícího čtvrtletní hodnoty z let 1999-2008. Výsledky
předpovědí a vyhodnocení jejich relativních přesností jsou uvedeny v tabulce v příloze č. 6.2.
Jak je patrno z 1. části této tabulky (hodnoty kritérií), jsou předpovězené hodnoty všeobecně
zatíženy zřetelně vyššími chybami, než tomu bylo u „plného" datového vzorku s hodnotami
za roky 1999-2014. U šesti z 8 hodnot u predikcí ukazatele ExportdoBRD jsou hodnoty
Theilova koeficientu nesouladu vyšší než 1, zatímco u predikcí plného vzorku tomu tak bylo
jen v jediném případě. Rovněž relativní přesnost predikcí vyhodnocená AMAPE kritériem ve
všech modelových specifikacích přesáhla hodnotu 1, s maximální hodnotou u modelu
VAR(2,4,5) dokonce 7,317. Kritérium adj. R 2
poskytlo hodnoty vzájemně velmi blízké (a
poměrně velmi dobré i u jinak špatných predikcí), takže ho nelze použít jako dostatečně
věrohodné diferenciační kritérium. Za modely vhodné pro optimální predikce lze považovat
97
VAR(2,1,3), popř. VAR(2,3,3), u nichž jako u jediných byl Theilův koeficient pod 1 a
AMAPE hodnota pod 2 a u kterých i zbývající kritéria RMSE a M A E nabyla nej menších
hodnot. Pokud jde o vyhodnocení předpovědí ex post, lze konstatovat, že všeobecně byla
skutečnost předpověďmi pro rok 2009 podhodnocena, s jedinou výjimkou, kdy pro 3. čtvrtletí
2009 udal modelVAR(2,3,3) predpovední hodnotu o 1% bod výše, než činila skutečnost.
ModelVAR(2,4,3) pak předpověděl hodnotu pro 4 čtvrtletí 2004 přesně. U všech ostatních 30
predikcí byla skutečnost podhodnocena, v ojedinělých případech i o více než o 5 %-bodů. Za
zmínku stojí, že predikce pro 3. a 4. čtvrtletí 2009 byly povětšině lepší než predikce pro
1.čtvrtletí téhož roku.
Zcela jiný predikční úkaz se projevil u předpovědí ukazatele ImportzBRD, u kterého naopak
došlo u prvních tří čtvrtletí roku 2009 k nadhodnocení skutečnosti předpovědními modely.
Toto nadhodnocení bylo nej větší v případě 1. čtvrtletí, kdy VAR-predikční modely udávaly
předpovědi až o 10 a více %-bodů vyšší v porovnání se skutečným vývojem. U dvou
„nejjednodušších,, modelů (operujících se zpožděními endogenních proměnných jen 1. řádu)
byly odchylky pro 1. čtvrtletí dokonce vyšší než 15%. V průběhu dalších čtvrtletí docházelo
k postupnému sbližování skutečných a předpovídaných hodnot, takže pro 4 čtvrtletí se
s výjimkou „nejkomplikovanějšího" modelu VAR(2,4,5) pohybovaly relativní odchylky
v rozmezí +- 2,5 % bodu a dva modely VAR(2,4,5) a VAR(2,4,3) odhadly skutečnost vývoje
dovozu z Německa ve 4. čtvrtletí velmi přesně (s odchylkou do 1 promile). Pohledem na
první část tabulky tohoto ukazatele s vypočtenými chybovými kritérii zjistíme, že nejlepší
kvalitu vyrovnání ve vzorku pozorovaných hodnot 1999-2008 poskytly „složitější,, modely
VAR(2,3,5) a VAR(2,4,3), u kterých nabyl Theilův koeficient nesouladu velmi nízké
hodnoty pod 0,3 a AMAPE kritéria pod 4 (toto nicméně jinak příznivá hodnota není, jak
patrno ve srovnání s modely kvantifikovanými na plném datovém vzorku, u nichž byla
obecně AMAPE-hodnoty podstatně nižší). Oba tyto VAR-modely vyzněly také jako velmi
přijatelné pro stanovení predikcí roku 2009 (s výjimkou už zmíněných výrazných
předpovědních selhání pro 1. čtvrtletí 2009). Souhrnně lze vyslovit jakýsi rámcový závěr o
odlišné uplatnitelnosti uvažovaných V A R modelů pro předpovědi indikátorů Vývoz do
Německa a Dovoz z Německa spočívající ve zjištění, že v případě exportu se lépe uplatnily
modely jednodušší: VAR(2,1,*) oproti importu, kde plauzibilnější předpovědi I kvalitu
vyrovnání lépe vystihly složitější specifikace VAR(2,3,5) a VAR(2,4,3).
98
Pro ukázku zde uvádím vybrané grafy VAR modelů:
Graf č. 6.3.1: Export do BRD - VAR(2,2,5)
2e+008
l,95e+008
BRDexport
předpověď
95 procentní interval —
2005 2006 2007 2008 2009
Zdroj: Vlastní práce
Graf. č. 6.3.2: Export do BRD - VAR(2,4,5)
2e+008
l,9e+O08
l,8e+008
l,7e+008
l,6e+008
l,5e+008 -
l,4e+008
2005 2006 2007 2008 2009
Zdroj: Vlastní práce
99
Graf. č. 6.3.3: Import z BRD - VAR(2,2,5)
l,8e+008
l,7e+008
l,5e+008
l,5e+008
l,4e+008
l,3e+008
l,2e+008
BRDimport
předpověď
95 procentní interval HJK
2005 2006 2007 2008 2009
Zdroj: Vlastní práce
Graf č. 6.3.4: Import z BRD - VAR(2,4,5)
l,8e+008
l,7e+008
l,6e+008
l,5e+008
l,4e+008
l,3e+008 -
l,2e+008
l,le+008
BRDimport
předpověď
95 procentní interval % 1
2005 2006 2007 2008 2009
Zdroj: Vlastní práce
100
7 FORMY NEPREDIKOVATELNOSTI
Při jemnejší analýze povahy a príčin toho, co způsobuje znatelné, zásadní až nepřekonatelné
překážky úspěšnému předpovídání dospěli se ve svých úvahách[15] přední teoretičtí
ekonomeťři, k nimž lze Davida Hendryho a Grayhama Mizona neoddiskutovatelně řadit,
k precizaci kategorizace příčin obtíží spojených s nepredikovatelností jako fenoménem vůbec.
Jejich typologie zahrnuje tři definice, jejichž obsah vystačí s celkem běžnými
pojmy matematické statistiky a náhodných procesů. U dvou z nich -„intrinsica extrinsic
unpredictability"- je obtížné nalézt ekvivalent v českém jazyce, v případě „instant
unpredictability"se zdá být adekvátní užít přívlastku bezprostřední nepredikovatelnost.
V definicích je u každého z pojmů vymezena jeho ústřední specifická vlastnost/rys; jen pro
úplnost uveďme, že „absolutní" nepredikovatelnost, tj. stav, kdy by se DGP měnil zcela
nevypočitatelně v každém časovém období a vymykal by se jakémukoliv formálnímu
statistickému popisu, by neumožnil o budoucím vývoji činit víceméně žádné závěry. Naštěstí
však, ve prospěch poznání reality a k jejímu úspěšnému předpovídání, j sou tři uvedené formy
nepredikovatelností méně extrémní.
Původně byla nepredikovatelnost chápána jako vnitřní (intrinsická) stochastická variabilita ve
známém (což je podstatné) rozdělení náhodného procesu,u kterého nepředstavuje podmínění
jinými stavy vněm, či okolními vlivy, žádné ovlivnění výstupu v porovnání s původním,
nepodmíněným rozdělením. Tím se toto chápání nepredikovatelností odlišuje od jiných
případů, u nichž lze dosáhnout zmírnění, resp. zúžení predpovední nejistoty podmíněním
dodatečnou relevantní informací. Tato variabilita (možných výstupů) může být přisouzena,
inter alia, statistickým vlastnostem náhodného výběru, náhodným chybám, neúplné informaci
nebo - zejména v ekonomii - velmi malým změnám v chování velkého počtu individuálně
třeba málo významných agentů, jako jsou spotřebitelské domácnosti nebo malé firmy
v konkurenčním prostředí. Jinými slovy, proměnná, která je intrinsicky nepredikovatelná,
nemůže být modelována a předpovídána lépe než pomocí svého nepodmíněného rozdělení.
Neplatí však opak: tj. že by po odstranění intrinsická nepredikovatelností byla již proměnná
„racionálně" předpověditelná. I když sledovaná veličina není intrinsicky nepredikovatelná,
může být nepredikovatelná ještě ze dvou dalších hledisek: první z nich se vztahuje
k nezávislým výběrům z rozdělení s tlustými či těžkými konci, což směřuje k pojmu
101
bezprostřední nepredikovatelnost. V tomto případě je rozdělení sledované proměnné (která
není nepredikovatelná intrinsický) známo, známé jsou nepodmíněné a podmíněné
pravděpodobnosti, ale existuje zde nezanedbatelná pravděpodobnost četnějšího výskytu jejích
velmi diskrepančních, odlehlých, atypických realizací. Byť je tedy rozdělení známo, není
známo, kdy se vyskytne extrémní realizace, a to ani co do času výskytu, ani co do velkosti
extrémní hodnoty.
Třetí specifický pojem, extrinsickánepredikovatelnost,spočívä v obecně nepravidelných
pohybech samotného rozdělení sledované veličiny, resp. podstatných charakteristik (třeba
střední hodnoty) tohoto rozdělení v neočekávaných časech, z nichž jsou pro předpovídání
nezhoubnější lokační změny (změny úrovně, střední hodnoty).
7.1 Intrinsická nepredikovatelnost
Podstatu této vlastnosti lze vystihnout poměrně jednoduchou definicí:
Definice 1: Řekneme, že n-rozměrný náhodný vektory reprezentuje intrinsický
nepredikovatelný proces vzhledem k informační množině Q.^ v rámci časového období tsT,
jestliže je podmíněné rozdělení D{et\Q.t_v) shodné s nepodmíněným rozdělením D(et)
neboli platí-li shoda
D{et\Q.t_l) = D{et) pro všechna období/€ T, (1).
V regresním schématu se vlastnost vztahuje zpravidla k chování náhodné složky (inovačního
členu) regresní rovnice.
Intrinsická nepredikovatelnostje tedy popsána relací mezi náhodným vektorem^ a množinou
jež obsahuje všechnu dostupnou informaci z předchozího období. Pokud
představuje univerzální informační množinu, pak totožnost (1) ozřejmuje, proč je chování
procesu et instrinsicky nepredikovatelné. Intrinsická nepredikovatelnost se váže stejně tak
k minulosti, k modelování procesu {et,t = 1,2,...,7"}, jako k předpovědi do budoucnosti,
řekněme od okamžiku T do T+h pro hodnoty {ent = T + \,T + 2,...,T + h] .Nejlepším
102
předpovědním nástrojem je za této podmínky nepodmíněné rozdělení D(et), přičemž znalost
obsahu množiny Q.^ už žádným způsobem nepomůže ke snížení predpovední nejistoty.
Platí tvrzení, že pokud u rozdělení existují jeho první dva momenty, pak intrinsická
nepredikovatelnostv sobě nese rovněž nepredikovatelnost jeho střední hodnoty a rozptylu.
Formálně zapsáno:
EfM\at-i)=EfM) a t a k é vft(£t\nt_j)=vft(£t) ( 2 )
Predikovatelnost vyžaduje kombinaci s informační množinouQ.^, kterou může být mj.
regresní zápis
yt = (pt(Xt_1) + et ^ k d e et~IDn[0,Ľ£] ^ ^
takže závisl e proměnná^ závisí jak na informační množině, tak na náhodné inovační
komponentě, kterou je zde náhodná složka rovnice. Pak pro rozptyl rozdělení platí nerovnost
Dyt{yt\^t-i)*Dyt{yt)
pro všechna období t e t
(4)
V (3) je ale levostranná proměnná predikovatelná i tehdy, pokud je inovační člen
nepredikovatelný, protože obecně platí
EDyt (yt\^t-l)= <Pt(Xt-i)*EDyt {yt)
Protože pro vztah podmíněného a nepodmíněného rozptylu platí VD (yt\Q.t_v)<VD (yt),
pokud je Vt[(pt(Xt_J\ ž0, znamená predikovatelnost vždy snížení variance, protože
nepredikovatelnost s sebou nese rovnost v (5), takže čím je „menší,, (v maticovém smyslu)
podmíněná kovarianční matice, tím je méně nejistá predikce^ učiněná z .
103
7.2 Bezprostřední nepredikovatelnost
Charakter této vlastnosti lze vyjádřit - oproti předchozí - méně určitou definicí:
Definice 2: Náhodný vektor ^představuj e bezprostředně nepredikovatelný proces v rámci
časového období 1, existuje-li nezanedbatelná pravděpodobnost výskytu jeho extrémních
realizací o neznámých velikostech a o neznámém situování těchto realizací v čase.
Pro případy extrémních realizací náhodné veličiny, které se vyskytují nezřídka ale jinak
nevypočitatelně, se poměrně nedávno vžil pojem černá labuť (black swan). Jde zpravidla o
velmi netypické hodnoty výběrů z rozdělení s tlustými konci, u nichž existuje v čase
konstantní, byť malá pravděpodobnost výskytu extrémní hodnoty v každém období. Přitom
jak situování v čase, tak absolutní velikost těchto extrémních hodnot jsou nepredikovatelné, a
to i tehdy, pokud je tvar rozdělení znám a zůstává v čase konstantní. Pokud se realizace
s extrémní hodnotou neočekávaně uskuteční v čase (řekněme)/e T, může to v (ekonomické)
realitě přivodit významné náklady či (naopak) užitky; často půjde o obojí, pokud se postavíme
do pozice v odlišné skupině ekonomických agentů: radikální cenové výkyvy (oběma směry)
jsou např. jinak hodnoceny výrobci/prodejci, zcela opačně pak spotřebiteli.
Problém s tímto typem nepredikovatelnosti nastává u (spojitých) rozdělení, která mají tlusté
konce, tzn. u nichž se mohou s nemalou pravděpodobností vyskytnout extrémní hodnoty
realizace náhodné veličiny. Příkladem (vzatým z „běžných" rozdělení) může sloužit např. trozdělení
o malém počtu stupňů volnosti (třeba do 10), v krajním případě Cauchyho
rozdělení, ztotožněné s rozdělením tl, které má hustotu
Připomeňme ještě, že ani jeden z jeho parametrů nelze interpretovat „momentově", protože
(konečnou) střední hodnotu ani (tím spíše) rozptyl toto rozdělení nemá.
Problém činí v tomto kontextu to, že rozdělení extrémního chování v budoucnosti nelze
identifikovat. U rozdělení s příliš tlustými konci (ať už je symetrické nebo ne) je velmi
obtížné rozpoznat jeho vlastnosti - chování v koncových oblastech - z dostupných dat,
kterých je zpravidla jen omezený počet, přičemž navíc se toto rozdělení (třeba v hodnotách
104
f(x) =
1 1
pro
momentů) může v průběhu času měnit. Pokud se taková černá labuť v rozdělení s tlustými
konci vyskytne, pak žádná minulá informace nemůže odkrýt její lokaci do času a určit její
velikost; případný úspěch v identifikaci toho, v jakém čase a v j aké velikosti extrémní
realizace nastane, se pak podobá úspěšnosti věštění pomocí křišťálové koule.
Teorii, které pracuje s pojmem černá labuť, rozvinul a matematicky popsal nedávno Nassim
Nicholas Taleb. Jde o jistou metaforu převzatou mj. z anglické (ekonomické) literatury
(D.Hume, J. S. Mill), která má popsat událost charakteristickou třemi atributy:
- je z hlediska ojedinělosti překvapivá, nic z minulosti neindikovalo, že dojde kjejímu
výskytu
způsobila při svém výskytu a své síle výrazný až extrémní vliv/efekt na okolí
- přesto, že má povahu typického „outlier", je zpravidla nesprávně a zjednodušeně
chápána, přičemž samotná lidská povaha má tendenci ke smyšlenému vysvětlení
příčiny jejího výskytu s cílem ji učinit vysvětlitelnou a předvídatelnou.
Autor chtěl pojmem vysvětlit události, které mají vysoký význam, silný profil a zásadní
historický dopad, jsou těžko predikovatelné a výskytem velmi řídké, takže leží mimo reálný
okruh běžného očekávání v historii, vědě, financích a technologiích. Mají nespočitatelnou
pravděpodobnost případných dalších výskytů, pokud chceme uplatnit vědecké metody (což je
dáno samotnou povahou extrémně malých pravděpodobností). Jejich psychologický účinek
v historii byl dominantní na značnou část populace, která jím byla ovlivněna.
7.3 Extrinsická nepredikovatelnost
I třetí forma nepredikovatelnosti je definovatelná v kontextu chování vektorového náhodného
procesu;
Definice 2: Vektorová náhodná veličina představuje extrinsicky nepredikovatelný proces,
pokud v jeho rozdělení existují intrinsicky nepredikovatelné posuny („shifts,,), což lze zapsat
jako
D£ (*)* D£ (*) pro některé období se T
105
Klíčovým prvkem této definice je, že posuny v rozdělení jsou neočekávatelné, a to dokonce
v případě proměnných, které by jinak byly částečně predikovatelné, pokud by k žádnému
posunu nedošlo, tj. platilo-li by
Důležitý rozdíl mezi intrinsickou a extrinsickou nepredikovatelností je patrný při realizaci
nezávislých výběrů. V prvním případě je výskyt černé labutě v podílu k obvyklým výstupům
nepravděpodobný ve dvou následných výběrech a ještě řádově méně pravděpodobný
v několika po sobě jdoucích výběrech. Příkladem může být třeba Studentovo t-rozdělení a
z něho pocházející extrémní výběry (z koncových hodnot); ty by se ale vyskytly zřídkakdy a
patrně by ležely na stejném konci;
Pro přiblížení se lze odvolat na známou Cebyševovu nerovnost, podle níž platí pro náhodný
výběr s rozdělením o konečné střední hodnotě ju a konečném rozptylu a1
nerovnost
Takže pravděpodobnost výskytu realizace o velikosti desetinásobku směrodatné odchylky (od
střední hodnoty) je u jednoho výběru nejvýš rovna 1/100, u dvou už ale nejvýš 1/10000, u tří
pak už nanejvýše jedna milióntina.
nezávislých velkých výběrových realizací. Přesto, pokud se už posun úrovně vyskytne, může
být odstraněn pomocí indikátorových („dummy") proměnných problém z modelu, a to i
tehdy, jsou-li příčiny výkyvu neznámé. Pokud jsou příčiny známé, pak si lze pomoci
zavedením patřičné známé vysvětlující proměnné (nebo více proměnných) do modelu.
Nicméně, znalost a přidání takových proměnných nemusí nijak pomoci v předpovídání
endogenní veličiny, jestliže též nemůžeme předpovědět jejich pohyby v budoucnu. Jako
příklad (mj. zcela aktuální i pro současnou českou ekonomiku), je závislost tuzemské inflace
na cenách dovážené ropy, která je touto cenou v nějakém promile ovlivněna. Jakkoliv je tento
pro všechna období t e T .
Pr(\y-ju\>sa)
pro jakékoliv kladné s.
7.4 Bezprostřední a extrinsická nepredikovatelnost při
předpovídání
Žádná dostupná informace nemůže učinit předpověditelnou velikost a lokalizaci v čase
106
vztah zřejmý a vcelku dobře kvantifikovatelný, není o nic snazší - vzhledem zejména k
aspektům výlučně politickým, jmenovitě exportní ropné politice zemí OPECu, Ruska a USA předpovídat
světové ceny ropy než predikovat českou inflaci. Takže, jak bezprostřední, tak
extrinsická nepredikovatelnost může být přístupná dobrému ex post modelování, ale nemůže
skoro nikdy zdokonalit ex ante předpovídání, pokud nemohou být přesně předpovězeny
posuny podstatné vysvětlující proměnné (zde v ceně ropy) v budoucnu.
Všechny tři formy nepredikovatelnosti citelně zasahují do ekonometrického modelování a do
výběru modelu určeného k předpovědím. Proces, který je intrinsicky nepredikovatelný,
nemůže být modelován lépe než pomocí nepodmíněného rozdělení.
Lokalizace v čase, výskyt velmi netypických extrémních výběrových hodnot, nebo posuny
úrovně jsou za přítomnosti bezprostřední nebo extrinsická nepredikovatelnosti
nepředvídatelné ex ante, ale pokud se tyto aspoň jednou už vyskytly, musí k nim být
přihlíženo při modelování procesu ex post a tak mohou být v principu (lépe nebo hůře)
modelovány. Takže, jakkoliv mohou být neočekávané posuny úrovně vysoce rušivé jak pro
účely ekonomické analýzy, tak pro předpovídání, nemusí jako takové zpochybnit empirické
modelování nebo výběr modelu, pokud je s nimi náležitě zacházeno. Navíc, posuny které
nejsou modelem patřičně podchyceny, mohou mít zničující dopady na odhad parametrů a na
vyvozování závěrů z výsledků. Metodou, která byla pro k tomuto účelu navržena, je impulseindicator
saturation (US). Ta může účinně zacházet s vícenásobnými posuny polohy, stejně
jako může „odstranit" většinu z extrémních hodnot (putliers) u rozdělení majících tlusté
konce. V metodě IIS se vytvoří úplná množina indikátorových proměnných {/(y=/)}=7,
pokud j = t a \f(j±t))=
0 P r o
ostatní případy pro j = l,2,...,T při daných T pozorováních a
pak se přidá těchto T impulsů indikátorů do množiny potenciálně vysvětlujících proměnných.
(Jde o zásah srovnatelný se zařazením umělých proměnných do regresní rovnice).
Vícekrokový vyhledávací algoritmus operující s přísnými kritickými hodnotami může
zacházet s větším počtem takových potenciálně vysvětlujících proměnných (o počtu N) než je
velikost T. Jak je implementováno v algoritmu automatické modelové volby, jako např.
v software Autometrics, umožňuje metoda US vystihnout sdružené zlomy s výběrem
provedeným přes všechny proměnné, více funkčních tvarů a s různými délkami zpoždění, viz
blíže Castle, Doornik a Hendry[2]. Ukázku užití metody implementované v Autometrics
prezentovali oba oxfordští autoři v závěru svého textu [15]; kde zkoumali průběh britského
107
HDP vletech 1989-2007. K predikcím HDP na 2008Q1-2011Q2 použili autoregresní model
l.řádu s jedinou indikátorovou proměnnou pro 1990Q3. Výsledek ale nebyl nijak přesvědčivý
(R2
=0,49) a predpovední selhání nebylo odstraněno. Aplikace jednoduché robustní metody
(podobné naší metodě A) poskytla - měřeno velikostí RMSE pro 5 předpovědních období predikcí
zřetelně lepší: se snížením RMSE na 0,062 oproti původní 0,122.
Ostatně, též některé dobře z minulosti známé ekonometrické procedury, jako je Chowův test
(1960), lze považovat za varianty IIS. U Chowova testu se berou podvzorky IIS přes období
T-k+1 do T, ale bez výběru proměnných a bez uvažování alternativních funkčních tvarů, a
metoda rekurzívního postupného odhadu, která je ekvivalentní metodě IIS přes budoucí
vzorky omezující indikátory najeden v čase. Titéž autoři[15] ukazují, že se IIS může vyhnout
nemodelovatelným outliers znečišťujícím výběr nelineárního modelu v případě výskytu
posunů v predikcích a během nich.
V každém případě je ale potřebné věnovat náležitou péči interpretaci empirických modelů
s významově důležitými indikátorovými proměnnými, pokud by se posuny, které indikátory
představují, měly znovu v budoucnosti vyskytnout. Jak bylo zdůrazněno Hendrym [16] a
Pesaranem, Pettenuzzem a Timmermannem [24], budou budoucí datové výběry
pravděpodobně zahrnovat jak outliers, tak posuny úrovně (shifts), takže je třeba, aby
odpovídající míry nejistoty tuto obojí eventualitu odrážely.
Pokles českého vývozu i dovozu počátkem roku 2009 a v jejich následné několika čtvrtletní
stagnaci, byly mimo pochybnost důsledkem celkové světové ekonomické recese, která byla
(neočekávaně) vyvolána zpoza Atlantiku, původně skoro výlučně finančními faktory. Vývoj
zahraničního obchodu ČR s Německem v období po r. 2008 je ostatně jedním z jeho
nejviditelnějších a nejlépe kvantifikovatelných projevů. Příčina původně ležící mimo jinak
stabilní, oboustranně prospěšné a plynule se rozvíjející obchodní vztahy s touto zemí, byla
vyvolána zcela mimo „obvyklé" důvody radikálnějších změn v ukazatelích zahraničního
obchodu, kterými by jinak mohly být třeba podstatné pohyby v měnovém kursu, obchodní
embargo (i když v rámci E U těžko představitelné), změna politické orientace jedné ze zemí
apod. Přestože lze ex post modelovat tento vývoj vcelku snadno (a nejen užitím
indikátorových proměnných), nelze vyloučit (nehledě na možnost výskytu „obvyklých"
příčin) opakování podobného vývoje v budoucnu, neboť při otevřenosti české ekonomiky a
citlivosti přenosů poruch ze světové ekonomiky (a také politiky) do ní.
108
V recesní době 2009-2011 se ukázalo, že ani vládní zásahy prováděné navíc opožděně,
nedůsledně a v krocích podceňujících nebezpečí krychle nápravě nevedly. Předpovídání
obdobných (velkých) posunů, skoků, výkyvů v budoucnu se tak stává víceméně spekulací.
109
110
ZÁVĚR
V předcházejících dvou kapitolách jsem uvedla výsledky z celé řady předpovědí dvou
ukazatelů českého zahraničního obchodu, konkrétně vývozu do Německa a dovozu
z Německa v období 1999-2014, se zvláštním zaměřením na období stagnace a výkyvů jejich
vývoje po r. 2008: důraz jsem - v souladu se zadáním práce - položila na vyšetření chování
jednotlivých vyrovnávacích a predikčních metod v situacích, kdy u zkoumaného
ekonomického ukazatele dojde k výrazné změně dosavadního chování. Měla jsem k dispozici
čtvrtletní časové řady těchto, a několika dalších věcně souvisejících ukazatelů od
1. čtvrtletí 1999 do 4.čtvrtletí 2014.Postupně jsem provedla mnoho desítek výpočtů
metodami, které představují jádro kvantitativního předpovídání a jsou dostatečně v literatuře
popsány. Při jejich výběru jsem vycházela především z monografie Finanční ekonometrie,
prof. T. Cipry (i když mnou analyzované ukazatele neměly povahu finančních), a přihlédla
jsem přirozeně také k informacím a postupům, které o jednotlivých metodách a účinnosti
jejich vyhodnocování uvádí soudobá literatura.
Tři desetiletí, která uplynula od přehledového shrnutí Raye Faira v Handbook of
Econometrics, ukázala, že co do rozsahu charakteristik, které se užívají k vyhodnocování
predikcí ex post i ex ante k žádnému jejich podstatnému rozšíření nedošlo. Zásadně se
nerozhojnil ani okruh predikčních metod (pomineme-li ARCH, GARCH a na ně navazující
metody, které by však v našem případě stěží našly uplatnění) ani metodologické
prvky/návody, jak s nimi nakládat. Výrazně se však změnil pohled na povahu a četnost
situací, v nichž ten-který ekonomický ukazatel zásadně změnil své dosavadní chování a kdy je
zřejmé, že se podstatně změnil náhodný proces, který generuje jeho pozorované hodnoty. Zde
je nutné pečlivě hledat další, i nestandardní postupy, protože velikost predpovední ch
selháních u klasických metod se běžně pohybuje i v desítkách procent. Vtom je postavení
současných ekonomických prognostiků o dost nesnadnější, než tomu bylo u předpovídání
jejich předchůdců v „klidných dobách".
V následující závěrečné tabulce stručně shrnu výsledky, pokud jde o přesnost predikčních
výpovědí právě ve zlomovém období, počínaje 1.čtvrtletím roku 2009, kdy se po předchozím
ustáleném a (s výjimkou mírného sezónního kolísání) plynule rostoucím vývoji obou těchto
ukazatelů) projevila stagnace a dokonce mírný pokles. Příčiny této změny ve vývoji
111
zahraničního obchodu spočívaly, jak známo, mimo standardní a úspěšné obchodní vztahy
mezi Českou republikou a Německem. Sledovala jsem především cíl prozkoumat a
kvantitativně vyhodnotit, jak jednotlivé metody reagují na posun, resp. zlom úrovně procesu
(zde směrem k zastavení růstu) obou ukazatelů. Tabulka je sestavena tak, že pro každé
čtvrtletí roku 2009 jsou zprůměrovány relativní chyby všech užitých výpočetních metod.
Výpočty byly prováděny s doporučovanými hodnotami parametrů, popř. s hodnotami jim
velmi blízkými, takže se domnívám, že k většímu zkreslení nemohlo dojít. Průměrování bylo
prováděno přes 4 až 8 dílčích čtveřic výsledků, s výjimkou APJMA metod, kde se některé
zadané modelové specifikace nepodařilo pomocí Gretlu spočíst, takže výsledných (a
průměrovaných) variant výpočtů je méně. Rovněž robustní metody (typu A a B) byly užity
jen dvě.
V rámci souhrnného komentáře mohu konstatovat, že nezřídka se některé predikční metody
chovaly jinak, než jsem očekávala a někdy i odlišně od toho, jak jsou hodnoceny literaturou.
Mám4i zhodnotit výsledky v pořadí podle prezentovaných metod a spočtených výsledků,
ukázalo se nejprve, že polynomiální trendová analýza je v takovýchto případech pro
předpovědi nepoužitelná, i když při vyrovnání časové řady může vykázat obstojný výsledek. I
když jsem zkoumala trendové křivky vyšších řádů od 4. do 8., ukázalo se - což je místy
komentováno v literatuře - že v těchto případech už krátce po vybočení z pozorovaného
období dochází ke značným odklonům předpovědí od skutečnosti. To by ostatně patrně
v menší míře platilo i u kvadratické nebo kubické křivky, kde ale vyrovnávající kritéria
ukázala daleko horší hodnoty. Trendy reprezentující ryze monotónní vývoj jsem záměrně
nepoužila. U ukazatele vývoz do Německa se odchýlení postupně rychle zvyšovalo od 1. do
4. čtvrtletí, tedy v průběhu pouhého jednoho roku, z odchylky 7,03% na 54,12% (převážně
nadhodnocení), u ukazatele dovozu pak ještě více: po „ještě únosném" odklonu v 1. čtvrtletí
12,71% se odchylky po dalších třech čtvrtletích dostaly až na (vesměs podhodnocení) 71%. U
trendů nižších řádů by odchýlení bylo menší, ale o to hůře dopadla vyrovnání ex post v rámci
pozorovaného období.
112
Tabulka č. 1: Závěrečné shrnutí
IMPORT z Německa
vyrovnávací-predikční metoda parametri parametr2 parametr3
vyrovnání polynomy 4.,5.,6. a 8. stupně
jednoduché a dvojité exponenc. vyrovnávání alfa = 0.1 alfa = 0.2 alfa = 0.3
Holtova a Wintersova adaptivní metoda alfa =0.3 0.4 gama = 0.1 0.2 delta 0,4
robustní metody typu A, typu B ró = 0,8
stochastické modely ARMA (1,1) až ARMA(2,2) stacionarizace likvadratickým terndem
stochastické modely ARIMA(1,1,1) až ARIMA(2,1,2) stacionarizace 1.diferencemi
lineární a dvojlogaritm. regresní analýza regresory: dovozdoCR kursEuro/Kč, spotrebaCR
modely VAR(2,1,3) ažVAR(2,4,5) regresory: dovozdoCR kursEuro/Kč, spotrebaCR
skutečné hodnoty dovozu z Německa v roce 2009:
EXPORT do Německa
vyrovnávací-predikční metoda parametri parám etr2 parám etr3
vyrovnání polynomy 4.,5.,6. a 8. stupně
jednoduché a dvojité exponenc. vyrovnávání alfa = 0.1 alfa = 0.2 alfa = 0.3
Holtova a Wintersova adaptivní metoda alfa =0.3 0.4 gama = 0.1 0.2 delta 0,4
robustní metody typu A, typu B ró = 0,8
stochastické modely ARMA (1,1) až ARMA(2,2) stacionarizace bikvadratickým terndem
stochastické modely ARIMA(1,1,1) až ARIMA(2,1,2) stacionarizace 1.diferencemi
lineární a dvojlogaritm. regresní analýza regresory: dovozdoCR, kursEuro/Kč, spotrebaCR
modely VAR(2,1,3) až VAR(2,4,5) regresory: dovozdoCR, kursEuro/Kč, spotrebaCR
skutečné hodnoty vývozu do Německa v roce 2009:
procentuální chyby o iiroti skkutečnosti
2009Q1 2009Q2 2009Q3 2009Q4
12,71 18,86 41,28 71,04
30,44 21,39 19,25 21,94
33,94 24,94 23,03 26,09
4,78 11,85 20,53 25,45
11,37 4,98 18,27 29,78
1,49 22,83 47,97 75,21
18,31 4,69 4,42 2,40
13,47 2,16 2,50 2,16
122453 131872 134538 131872
procentuální chyby oproti skkutečnosti
2009Q1 2009Q2 2009Q3 2009Q4
7,03 16,04 31,60 54,12
7,35 9,50 9,77 8,51
11,62 15,29 12,86 12,79
10,78 15,37 21,32 28,18
2,41 3,73 7,75 14,60
5,11 10,45 20,26 33,29
4,25 3,51 1,31 1,36
4,70 4,41 2,27 2,36
175174 171711 172005 175592
Zdroj: Vlastní práce
113
Pokud jde o adaptivní metody, z nichž jsem uplatnila jednoduché a dvojité Brownovo
exponenciální vyrovnání a aditivní Holtovu a Wintersovu metodu, nebyly výsledky o mnoho
příznivější. Zde ale přece jen chyba průměrné předpovědi pro export u Brownova vyrovnání
nepřesáhla „relativně snesitelných" 10% s minimem v 1.čtvrtletí 2009 7,35%. Zajímavé je, že
zde daleko nejlepší predikce přinesla „simple" verze s a = 0,1, kde ani jedna z odchylek
nepřesáhla 1,6%. Aditivní Holtova i Wintersova metoda se projevily o něco hůře, odchylky
od skutečnosti se pohybovaly kolem hranice 12%. Ve všech případech zde predikce
nadhodnocovaly skutečnou (stagnující či slabě klesající) úroveň exportu a importu. U importu
predikce pomocí těchto metod zcela selhaly - z počáteční průměrné odchylky okolo 30% se
sice postupně sbližovaly s realitou, po roce se však stále pohybovaly na úrovních 22-26%.
U obou užitých „robustních" metod závisí jak vyrovnání, tak předpověď, silně na hodnotě
parametru, s nímž do výpočtu vstupuje aktuální nebo předposlední pozorování. Pokud by byla
jeho váha ještě větší než užité p = 0,8, dosáhli bychom určitě lepšího vyrovnání, což ale
nelze říci o přesnosti předpovědí.
U stochastických modelů A R M A resp. ARIMA jsem před vlastním vyhlazením řady a
následnou předpovědí provedla stacionarizaci obou ukazatelů, neboť oba měly předtím
viditelný růstový trend. V prvním případě jsem použila k odstranění trendu bikvadratickou
křivku, ve druhém jsem pracovala s řadami prvních diferencí. Výpočty byly prováděny
Gretlem a ne všechny zadané specifikace ARIMA modelů (resp. jejich parametrů) se tamním
algoritmem spočetly. Zajímavé je jednak to, že A R M A modely přinesly - po odstranění
deterministického trendu - zřetelně lepší výsledky než ARIMA modely aplikované na řadách
diferencí. Je to do jisté míry v souladu s tím, že testování Dickey-Fullerový testem (s
lineárním trendem) neindikovalo v řadě přesvědčivě jednotkový kořen. U specifikací pro
export se po 3 čtvrtletí udržely průměrné ARMA-predikční chyby pod 8% (první dvě jen
2,41% a 3,73%), jen poslední dosáhla 14,6%. U ARIMA modelů byly chyby až trojnásobně
velké a jen pro 1.čtvrtletí se odchylka držela kolem 5%. Zhruba tentýž obrázek poskytlo
vystižení importu, kde byly průměrné predikční chyby ještě daleko větší, i když zde byla
průměrná predikce ARIMA modely pro 1.čtvrtletí 2009 velmi přesná s odchylkou jen
1,49 %. Následně se ale odklon razantně zvyšoval až na obřích 75,2% ve 4.čtvrtletí. Zajímavé
je, že u importu se předpovědi držely v 1.čtvrtletí nad skutečností, pak spadly pod skutečné
114
hodnoty, zatímco u exportu v celém predikčním horizontu 2009Q1-2009Q4 vesměs
podhodnocovaly.
Jako zřetelně predpovedné nej lepší se projevily oba modelové přístupy, ve kterých se
využívají vhodně zvolené vysvětlující proměnné, tedy klasická regresní analýza (užila jsem i
dvoj logaritmické specifikace rovnic) a modely vektorové autoregrese. Celkově bylo přece jen
úspěšnější ex post vystižení u exportu do Německa, kde žádná z osmi „průměrných"
čtvrtletních předpovědí se neodchýlila od skutečnosti o více než 4,7% (s maximy v 1.čtvrtletí)
s postupným poklesem až na 1,3-1,36% ve 2.pololetí u klasických regresí a na 2,27-2,36% u
VAR modelů. To lze považovat za velmi dobrý výsledek. U předpovědí vývoje importu byly
počáteční odchylky podstatně vyšší (13,5% resp. 18,3%), pak následoval razantní pokles na
hodnoty pod 5% u regresí a dokonce až na jen 2,1-2,5% u V A R modelů. Jak už jsem zmínila
dříve, pozitivně se zde projevila zejména přítomnost vysvětlujících proměnných exportzČR
resp. IMPORTdoČR, jejichž průběh ve sledovaném období byl (přirozeně) hodně podobný
vývoji zahraničního obchodu s Německem.
Uvedená zjištění z analýzy dvou ukazatelů zahraničního obchodu by mohla přispět
k upřesnění náhledu na užitečnost využití standardních předpovědních metod právě
v případech, kdy u sledované časové řady dochází v kritickém období ke zřetelnému posunu
jeho střední hodnoty nebo ke zlomu. Doplním, že i když jsem mimochodem testovala
zlomové charakteristiky pomocí CUSUM-testů a Chowova testu, nebylo místo potenciálního
zlomu ani v jednom případě přesvědčivě indikováno. Lze se domnívat, že by podobně
dopadlo i vyšetřování exportních a importních charakteristik vůči dalším zemím, s nimiž má
Česká republika intenzivnější obchodní vztahy (Slovensko, Rakousko, Francie apod.).
Aplikace robustních a adaptivních metod v našem případě nepřinesla výsledky lepší, než
klasická regrese nebo V A R modely. Je pravděpodobné, že by ani zařazení indikátorových
proměnných nevedlo k plné eliminaci předpovědního selhání, protože přerušení růstového
vývoje trvalo více čtvrtletí, a že by poskytlo výrazně lepší předpovědi než dva posledně
uplatněné okruhy metod.
115
SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ
[I] ANDĚL, Jiří. Statistické metody. 4., upr. vyd. Praha: Matfyzpress, 2007, 299 s. ISBN
978-80-7378-003-6.
[2] CASTLE, J. L., DOORNIK, J. A., and HENDRY, D. F. (2012). Model selection when there
are multiple breaks. Journal ofEconometrics, 169, 239-246.
[3] CIPRA, Tomáš. Finanční ekonometrie. 1. vyd. Praha: Ekopress, 2008, 538 s. ISBN
978-80-86929-43-9.
[4] ELLIOT Graham, GRANGER, TIMMERMANN Allan. Handbook of economic
forecasting. 1st ed Amsterdam: Elsevier North Holland, 2006, xxv, 1012, 28 s.
Handbooks in economics, 24. ISBN 0444513957.
[5] EVANs Michael K, HAITOVSKY Yoel, TREYZ George I. and SU Vincent, (1972),
An Analysis Of The Forecasting Properties Of U.S. Econometric Models, NBER
Chapters, National Bureau of Economic Research, Inc
[6] FAIR, Ray C. ,\9&0Estimating the Expected Predictive Accuracy of Econometric
Models, Inrerturionu, Economri Reuiew. 21. 355- 378
[7] GARBADE, Kenneth D. Discretionary control of aggregate economic activity.
Lexington, Mass.: Lexington Books, [1975], xiii, 187 p. ISBN 0669982369.
[8] GREEN, George. Short- and Long-Term Simulations with the OBE Econometric
Model. Paper prepared for the Conference on Econometric Models of Cyclical
Behavior, and printed in this volume. 25-123
[9] GRILICHES, Zvi a INTRILIGATOR Michael D. Handbook of Econometrics.
Amsterdam: Nord-Holland, 1983-1986, 3 sv., 33. kapitola, Ray FAIR, Evaluating the
Predictive Accuracy of Models.
[10] GRILICHES, Zvi, ed. Handbook of econometrics. Vol. 1. Amsterdam: Elsevier, 1983.
xxvii, 771 s. Handbooks in economics; bk. 2. ISBN 0-444-86188-2.
[II] HAITOVSKY, Y. and N . W A L L A C E (1972) "A Study of Discretionary and Nondiscretionary
Monetary and Fiscal Policies in the Context of Stochastic
Macrweonometric Models", in: V. Zarnowitz, ed.. The Bwiness Cyek Today. New
York: Columbia University Press.
[12] HAYASHI, Fumio. Econometrics. Princeton: Princeton University Press, 2000, xxiii,
683 s. ISBN 0691010188.
[13] HENDRY D. & MIZON G. E. , 2012. Forecasting from Structural Econometric
Models, Economics Series Working Papers 597, University of Oxford, Department of
Economics. ISSN 1471-0498.
[14] HENDRY D. & MIZON G. E., 2011. An Open-model Forecast-error
Taxonomy, Economics Series Working Papers 552, University of Oxford, Department
of Economics. ISSN 1471-0498
[15] HENDRY D. & MIZON G. E., 2014. Unpredictability in economic analysis,
econometric modeling andforecasting, Journal of Econometrics, Elsevier, vol. 182(1),
pages 186-195.
116
[16] HENDRY, D. F. (2001). Modelling UK inflation, 1875-1991. Journal of Applied
Econometrics, 16, 255- 275.
[17] HINDLS, Richard, Ilja NOVÁK a Stanislava HRONOVÁ. Metody statistické analýzy
pro ekonomy. 2. přeprac. vyd. Praha: Management Press, 2000, 259 s. ISBN 80-7261-
013-9.
[18] HINDLS, Richard. Statistika pro ekonomy. 8. vyd. Praha: Professional Publishing,
2007, 415 s. ISBN 978-80-86946-43-6.
[19] HUŠEK, Roman. Ekonometrická analýza. Vyd. 1. Praha: Oeconomica, 2007, 367 s.
ISBN 978-80-245-1300-3.
[20] JUDGE, George G. The Theory and practice of econometrics. 2nd ed. New York:
Wiley, cl985, xxix, 1019 p. ISBN 047189530x.
[21] LITTERMAN, Robert B. (1980) Improving the Measurement of Predictive Accuracy;
Mimeo.
[22] MCNEES. Stephen K. (1974) Haw Accurate Are Economic Forecasts?', New England
Economic Reoiew. November/December, z-19., McNecs, Stephen K. (1975) "An
Evaluation of Economic Forecasts", New E&md Economic Review.
November/December, 3-39.
[23] NELSON. Charles R. 1972 ,The Prediction Performance of the FRB-MIT-PENN
Model ofthe U.S. Economy", The A&&. Emnomic Reuim, 62, 902-917.
[24] PESARAN, M. H., PETTENUZZO, D., and TIMMERMANN, A. (2006). Forecasting time
series subject to multiple structural breaks. Review of Economic Studies, 73, 1057-1084.
ELEKTRONICKÉ ZDROJE:
[25] Bundes bank Deutschland [online]: 2015: [cit. 2015-03-17]. Dostupné z:
http://www.bundesbank.de/SiteGlobals/Forms/Statistik
[26] Česká národní banka (ČNB) [online]: 2015: [cit. 2015-03-13]. Dostupné z:
http ://www. cnb.cz/
[27] Český statistický úřad (ČSÚ) [online]: 2015: [cit. 2015-03-07]. Dostupné z:
https://www.czso.cz/
117
SEZNAM GRAFŮ
Graf č. 3.1a: Předpověď HDP UK 41
Graf č. 3.1b: Aktualizová předpověď HDP UK 42
Graf ě. 4.1.1: Pozorovaná data pro export ČR celkem, import ČR celkem, export z Německa a import do
Německa 68
Graf ě. 4.2.1: Import z BRD - model ARMA (1,1) 71
Graf ě. 4.2.2: Import z BRD - model ARIMA (2,1,0) 72
Graf ě. 4.2.3: Import z BRD - vyrovnání polynomem 4.st 72
Graf ě. 4.2.4. Import z BRD - Holtova metoda a = 0,4 a y = 0,1 73
Graf ě. 4.2.5: Import z BRD - Wintersova metoda a = 0,4 a y = 0,1 ô = 0,4 73
Graf. ě. 4.2.6: Import z BRD - jednoduché exponenciální vyrovnávání a = 0,2 74
Graf. ě. 4.2.7: Import z BRD - dvojité exponenciální vyrovnávání a = 0,2 74
Graf: 4.2.8: Export z BRD - ARMA (1,1) 77
Graf ě. 4.2.9: Export BRD - model ARIMA (2,1,0) 77
Graf ě. 4.2.10: Export BRD - vyrovnání polynomem 4.st 78
Graf. ě. 4.2.11 Export z BRD - jednoduché exponenciální vyrovnávání a = 0,2 78
Graf ě. 4.2.12: Export z BRD - Wintersova metoda a = 0,4 a j = 0,1 ô = 0,4 79
Graf ě. 4.2.13: Export z BRD - Holtova metoda a = 0,4 a j = 0,1 79
Graf. ě. 4.2.14: Export z BRD - dvojité exponenciální vyrovnávání a = 0,2 80
Graf ě. 4.3.1: model LINREG1I 87
Graf ě. 4.3.2: model LINREG1I Cochran-Orcutt 88
Graf ě. 4.3.3: model LOGREG2I 88
Graf ě. 4.3.4: model LOGREG2I Cochran-Orcutt 89
Graf ě. 4.3.5: model LINREG1E 89
Graf ě. 4.3.6: model LINREG1E Cochran-Orcutt 90
Graf ě. 4.3.7: model LOGREG2E 90
Graf ě. 4.3.8: model LOGREG2E Cochran-Orcutt 91
Graf ě. 6.2.1: Import z BRD - VAR(2,4,5) 95
Graf. ě. 6.2.2: Import z BRD - VAR(2,2,5) 96
Graf. ě. 6.2.3: Export do BRD - VAR(2,4,5) 96
Graf ě. 6.2.4: Export do BRD - VAR(2,2,5) 97
Graf ě. 6.3.1: Export do BRD - VAR(2,2,5) 99
Graf. ě. 6.3.2: Export do BRD - VAR(2,4,5) 99
Graf. ě. 6.3.3: Import z BRD - VAR(2,2,5) 100
Graf ě. 6.3.4: Import z BRD - VAR(2,4,5) 100
118
SEZNAM TABULEK
TABULKA Č. 1: Závěrečné shrnutí 113
SEZNAM OBRÁZKŮ
Obr. č. 1: Aktuální změny v logaritmech sezónně očištěného britského HDP 42
Obr. č. 2: Předpovědi při správné a chybné specifikaci modelu 48
Obr. č. 3: Správná a chybní specifikace s měnícím se 49
Obr. č. 4: Správná specifikace s nenulovým 0 a se změněným p 51
Obr. č. 5: Chybná specifikace s p a p dvakrát změněným 52
Obr. č. 6: Posuny způsobené změnami parametrů 58
Obr. č. 7: Differencované chybné modely se změněným p 60
Obr. č. 8: Diferencovaný chybný model se změněným p 63
119
SEZNAM POUŽITÝCH ZKRATEK
AMAPE - adjusted mean absolute percentage, česky korigovaná střední absolutní
procentuální chyba odhadu
ARCH - Autoregressive (models with) conditional heteroskedasticity, česky asi nejlépe
autoregresní modely s podmíněnou heteroskedasticitou
DGP - Data generating process, česky asi nejlépe proces generující data nebo data generující
proces.
DSGE - Dynamic stochastic (models of) general equilibrium, česky asi nejlépe dynamické
stochastické modely všeobecné (ekonomické) rovnováhy
GARCH - generalized autoregressive conditional heteroskedasticity, česky asi nejlépe
zobecněný autoregresní model s podmíněnou heteroskedasticitou
M A E - mean absolute error, česky střední absolutní chyba
MAPE - mean absolute percentage error, střední absolutní procentuální chyba odhadu
RMSE - root mean squared error, česky odmocninová střední čtvercová chyba
ThU - Theilův koeficient nesouladu
V A R - vector autocorrelation, česky asi nejlépe modely vektorové autokorelace
120
SEZNAM PŘÍLOH
Příloha 1: Použitá data 32
Příloha 4.1: Předpovědi pro Import z Německa r.2009 44
Příloha 4.2: Předpovědi pro Export do Německa r.2009 45
Příloha 4.3: Předpovědi pro celkový dovoz ČR r.2009 58
Příloha 4.4: Předpovědi pro celkový vývoz z ČR r.2009 70
Příloha 4.5: Předpovědi pro spotřebu ČR r. 2009 32
Příloha 4.6: Předpovědi pro spotřebu Německa r. 2009 32
Příloha 4.7: Předpovědi pro kurs EURO/Kě r. 2009 44
Příloha 4.8. Předpovědi pro import z Německa r. 2015 45
Příloha 4.9: Předpovědi pro export do Německa r. 2015 58
Příloha 4.10: Předpovědi pro celkový dovoz do ČR r. 2015 70
Příloha 4.11. Předpovědi pro celkový vývoz z ČR r. 2015 44
Příloha 4.12: Předpovědi pro spotřebu ČR r. 2015 45
Příloha 4.13: Předpovědi pro spotřebu Německa r. 2015 58
Příloha 4.14: Předpovědi pro kurs EURO/Kě r. 2015 70
Příloha 5.1: Regresní model Import do BRD (r. 2009) 44
Příloha 5.2: Regresní model Export do BRD (r.2009) 45
Příloha 6.1: VAR modely 2015 58
Příloha 6.2: VAR modely 2009 70