ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY
P ŘÍRODO ĚDECKÁ FAKULTA, MASARYKOVA UNIVERSITA
Janáčkovo nám. 2a, 602 00 Brno, Tel.:+420-5-49 49 1412.
http://www.math.muni.cz/~xzemane2
petr.zemanek@mail.muni.cz
Oponentský posudek bakalářské práce
Kamil Babula (U ČO 172001): Protipříklady v matematické analýze
Předložená bakalářská práce má dokázat nutnost předpokladů vystupujících v základních
větách matematické analýzy. K tomu jsou využity tzv. ,,protipříklady", tj. příklady, které nenaplňují
všechny předpoklady věty, a tudíž vedou nutně ke sporu s tvrzením.
Text je rozdělen do čtyř kapitol. První kapitola je věnována diferenciálnímu počtu funkcí
jedné proměnné -- jsou zde především fundamentální tvrzení o limitách, spojitosti a derivaci
funkcí. V závěru této kapitoly jsou uvedena ještě tvrzení z aplikací diferenciálního počtu, tzn.
z průběhu funkcí a Taylorova rozvoje. V druhé kapitole se autor zaměřuje na integrální počet --
ukazuje protipříklady pro tvrzení o primitivních funkcí a o vlastním či nevlastním Riemannově
integrálu. Třetí kapitola obsahuje nekonečné řady s nezápornými členy, dále alternující číselné
řady a v poslední části i protipříklady pro tvrzení o posloupnostech funkcí. Ve čtvrté kapitole
jsou zkonstruovány příklady, které potvrzují nutnost podmínek v některých větách o úplných,
kompaktních a souvislých prostorech, o zobrazeních mezi metrickými prostory a v závěru
v Hölderově nerovnosti a Minkowského nerovnosti.
Téma je zpracováno velmi přehledně a čtivě. Přesto se autor nevyvaroval drobných typografických
chyb a některých překlepů, např.:
* za jednopísmennou předložkou či spojkou by neměl následovat řádkový zlom;
* měly by být používány české uvozovky, tj. ,, ... ", nikoli uvozovky anglické "... ";
* většina použitých referencí pro čísla rovnic není správně -- viz např. strany 32, 33, 41,
42;
* str. 112: rovnost ,,... =   ( ) = 0" zřejmě neplatí;
* str. 135
: tvrzení ,,...nebo nevlastní derivaci: f (x) = 1 pro x = 1..." není zcela pravdivé;
* str. 219
: rozšíření na nekonečný interval ,,... [a, b], kde a, b  R
..." by mělo být zapsáno
jinak;
* str. 29+30: v Příkladu 3.27 má být použita jedna z nekonečných řad 
n=1(-1)n1 1
n
, také
některé naznačené součty nejsou správně -- viz druhý a devátý řádek shora na straně 30;
* str. 32: v Příkladu 3.33 autor zdůrazňuje ,,... dostaneme se do přímého konfliktu s Diniho
větou (Věta 3.30)..." (viz 7. a 8. řádek shora) -- ovšem cílem tohoto protipříkladu je
ukázat nutnost podmínek Diniho věty, tedy dosažený spor je spíše s Větou 3.28;
ˇ str. 361: množina M zřejmě má být neprázdná, proto formulace ,,Je-li  = M  P ..."
není správně;
* str. 37, druhý řádek zdola + str. 38, čtvrtý řádek shora: jsou použity metriky  namísto c;
* str. 391
1: neplatí f(A) = [3, 4)  {5};
* str. 391
2: překlep v zápisu ,,... Nechť (P, ), (q, ) jsou ...".
Jako možné doplňující otázky pro diskuzi navrhuji:
i) Je dvojice funkcí f a g v Příkladě 1.13 v části ,,Pro násobení" použita správně?
ii) Příklad 3.35 není správně -- lze najít jiný protipříklad dokazující nutnost stejnoměrné
konvergence ve Větě 3.34?
iii) Uvedťe protipříklad se stejnoměrně konvergentní posloupností fn(x) ve Větě 3.38.
iv) V Příkladu 4.19 je uvedeno: ,,nechť A = {sgn x + c} pro c, x  [0, 1]. Pak pro libovolná
c1, c2 platí (sgn (x + c1), sgn (x + c2)) = 1, x  [0, 1]..." Je-li metrika použitá v tomto
příkladě z Definice 4.16, pak pro libovolná c1, c2  (0, 1] obdržíme vždy (sgn (x +
+c1), sgn (x + c2)) = 0 pro x  [0, 1]. Lze tento protipříklad i přesto použít?
Poněvadž jsou všechny moje připomínky spíše technického charakteru, tedy nepříliš podstatné,
a práce je nápsána velmi kvalitně (především oceňuji skutečnost, že většina uvedených
příkladů není čerpána z literatury), doporučuji předloženou práci uznat jako bakalářskou,
a v případě uspokojivého zodpovězení otázek navržených pro diskuzi hodnotit známkou výborně
(tj. A).
V Brně, dne 17. června 2008. ...........................................
Mgr. Petr Zemánek